Math Models Bio

http://www.dmb.biophys.msu.ru/models

Каталог динамических моделей в биологии на сайте Биофизики МГУ

http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/

Г.Ю. Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть I.

http://www.biophys.msu.ru/general_courses/mmb/

Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова.

Биологический факультет. Кафедра биофизики

119991, Москва, ГСП-2, Ленинские горы. Телефон (495) 939-1116, факс 939-1115.

для студентов Биологического факультета МГУ

• Учебник Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии

ЛЕКЦИИ

Профессор кафедры биофизики Галина Юрьевна Ризниченко.

Каф. биофизики, комната119; тел 9390289; riznich@biophys.msu.ru

Лекция 1. Введение. Классификация моделей. Основные понятия. Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния и его устойчивости

• Учебник: Введение
• Учебник: Модели биологических систем, описываемые одним дифференциальным уравнением первого порядка
• Презентация: Введение в математическую биологию (9 МБайт)
• Презентация: Исследование одного уравнения (0.3 МБайт)

Лекция 2. Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модели с наименьшей критической численностью. Дискретные модели: устойчивый рост, циклы, динамический хаос. Модели с запаздыванием. Вероятностные модели.

• Учебник: Модели роста популяций
• Презентация: Модели популяционной динамики (0.9 МБайт)

Лекция 3. Матричные модели популяций. Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек: узел, фокус, седло, центр. Параметрический портрет системы для типов устойчивости системы двух уравнений.

• Учебник: Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений
• Презентация: Анализ устойчивости стационарного состояния системы двух автономных дифференциальных уравнений (0.2 МБайт)

Лекция 4. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Пример: система линейных уравнений для химических реакций. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.

• Учебник: Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка

Лекция 5. Иерархия времен в биологических системах. Быстрые и медленные переменные. Теорема Тихонова. Мультистационарные системы. Фазовый портрет триггерной системы. Типы переключения триггера. Отбор одного из равноправных видов при наличии неограниченных и ограниченных ресурсов. Триггер Жакоба и Моно.

• Учебник: Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихонова. Типы бифуркаций. Катастрофы
• Учебник: Мультистационарные системы
• Презентация: Иерархия времен в биологических системах (0.4 МБайт)
• Презентация: Биологические триггеры. Мультистационарные системы (0.3 МБайт)

Лекция 6. Колебания в биологических системах. Понятие автоколебаний и предельного цикла. Бифуркация Хопфа рождения предельного цикла. Модель брюсселятор. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Колебания кальция.

• Учебник: Колебания в биологических системах
• Презентация: Колебательные процессы в биологии (0.6 МБайт)

Лекция 7. Модели в микробиологии. Проточный культиватор. Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.

• Учебник: Модели взаимодействия двух видов
• Учебник: Моделирование микробных популяций
• Презентация: Модели взаимодействия двух видов (0.5 МБайт)

Лекция 8. Квазистохастическое поведение динамических систем. Динамический хаос. Пространственно-динамический хаос в моделях кардиологии. Сердечные аритмии. Модель нелинейной системы трансмембранного переноса ионов. Типы поведения системы: затухающие колебания, триггер, автоколебания. Поведение системы в присутствии переменного электрического поля. Резонансные свойства.

• Учебник: Динамический хаос. Модели биологических сообществ
• Учебник: Модель воздействия слабого электрического поля на нелинейную систему трансмембранного переноса ионов
• Презентация: Динамический хаос (1 МБайт)
• Презентация: Распространение фронтов, импульсов и волн. Модели распространения нервного импульса. Автоволновые процессы и сердечные аритмии (4 МБайт)

Лекция 9. Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.

• Учебник: Колебания в биологических системах
• Презентация: Распределенные системы (4 МБайт)

Лекция 10. Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды. Реакция Белоусова-Жаботинского. Модели окраски шкур животных.

• Учебник: Колебания в биологических системах

Лекция 11. Модели молекулярной динамики. Принципы построения и примеры. Модели броуновской динамики. Модели переноса электрона в комплексах молекул-переносчиков. Кинетические и прямые многочастичные модели процессов в фотосинтетической мембране.

• Учебник: Колебания в биологических системах
• Презентация: Процессы в фотосинтетической мембране. Знания и модели (5 МБайт)

СЕМИНАРЫ

Семинар 1. Основные понятия. Решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных на примере уравнения экспоненциального роста. Общее решение однородного уравнения. Стационарное состояние. Устойчивость.

Семинар 2. Модели роста популяций. Логистический рост (уравнение Ферхюльста). Модель популяции с наименьшей критической численностью.

Семинар 3. Дискретные модели роста популяций. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея.

Семинар 4. Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение системы линейных дифференциальных уравнений. Характеристическое уравнение. Типы особых точек.

Семинары 5 и 6. Система двух автономных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Построение фазовых и кинетических портретов. Памятка для работы в программе TRAX.

Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем. Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Аналитическое исследование модели Вольтерра. Пример задания по теме «Исследование модели В. Вольтерра «хищник-жертва».

Семинар 8. Триггерные системы. Конкуренция. Пример задания по теме «Исследование модели конкуренции двух видов».

Семинар 9. Колебательные системы. Локальная модель брюсселятора.

ТЕМЫ К ЭКЗАМЕНУ

• Введение. Классификация моделей.
• Модели, описываемые одним дифференциальным уравнением. Понятие стационарного состояния. Устойчивость.
• Модели роста популяций. Экспоненциальный рост. Логистический рост. Модель с наименьшей критической численностью. Дискретные модели популяций с неперекрывающимися поколениями (дискретная логистическая модель). Возрастная матрица Лесли.
• Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений. Фазовая плоскость. Типы особых точек. Бифуркационная диаграмма. Пример: система линейных уравнений для химических реакций.
• Исследование устойчивости стационарных состояний нелинейных систем второго порядка. Линеаризация в окрестности стационарного состояния. Примеры: Системы уравнений Лотки и Вольтерра.
• Мультистационарные системы. Переключение триггера. Отбор одного из равноправных видов. Триггер Жакоба и Моно. Триггерные системы в ферментативном катализе. Иерархия времен. Принцип «узкого места»
• Колебания в биологических системах. Понятие предельного цикла. Модельные системы мягкого и жесткого рождения предельного цикла. Примеры. Колебания в темновых процессах фотосинтеза. Колебания в гликолизе. Динамический хаос.
• Модели взаимодействия популяций. Вольтеровские модели: модели конкуренции и хищник-жертва. Обобщенные модели Колмогорова, МакАртура, Базыкина. Структура параметрических портретов.
• Распределенные системы. Активные автоволновые среды. Уравнение диффузии. Решение уравнения диффузии. Система реакция-диффузия. Неустойчивость гомогенного стационарного состояния. Распространение волны в системах с диффузией.
• Система реакция-диффузия для двух уравнений. Исследование устойчивости гомогенного стационарного состояния. Типы неустойчивостей. Распределенная система «Брюсселятор» как модель активной среды.

МОДЕЛИ

1. Экспоненциальный рост популяции (решение уравнения, график временной зависимости для численности)
2. Логистический рост (решение уравнения, график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
3. Модель популяции с наименьшей критической численностью (график временной зависимости для численности, анализ устойчивости стационарных состояний)
4. Дискретное логистическое уравнение. Лестница Ламерея (построение временной зависимости для численности по графику зависимости, анализ устойчивости положения равновесия)
   1. Система линейных химических реакций (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   2. Модель Лотки (модель химической реакции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   3. Классическая модель Вольтерра «хищник-жертва» (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   4. Модель отбора одного из равноправных (общая модель для двух видов и модель, учитывающая ограниченность в питательных ресурсах и быстрое их поглощение по сравнению с процессами репродукции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   5. Модель конкуренции (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   6. Модель «хищник-жертва» (с учетом внутривидовой конкуренции) (определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
   7. Модель биохимической регуляции белкового синтеза (генетический триггер Жакоба и Моно) (для m = 0определение стационарных состояний, построение главных изоклин, фазового портрета и кинетических кривых)
5. Брюсселятор (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)
6. Модель гликолиза (упрощенная схема) (определение стационарных состояний, определение типа устойчивости стационарных состояний в зависимости от значений параметров системы, вид фазового портрета в зависимости от значений параметров системы)