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Les concepts mathématiques mis en oeuvre dans nos hypothèse sont-ils anciens ?
Les concepts mathématiques mis en oeuvre dans nos hypothèse sont-ils anciens ?
A-t-on des éléments pour se convaincre que le théorème de Thales ou l'usage sur une sphère du théorème de Pythagore se faisaient couramment dans des temps anciens, avant le monde d'Euclide (et sa géométrie plane) ?
On lira avec intérêt les sources très anciennes à Summer, avec des mathématiques appliquées à l'arpentage, à la mesure des distances, des volumes et des masses, au calcul des élévations . Avec aussi les techniques de conservation et de transmission des savoirs, souvent 'par coeur' et à partir d'exercices et de problèmes à résoudre. C. Proust en fait une énumération impressionnante dans son article Mathématiques en Mésopotamie. On voit que les plus anciennes traces de mathématiques nous renvoient à la toute fin du néolithique, au 3ème millénaire avant notre ère, où à l'apparition de l'écriture au proche orient.
"Tables of rectangles are arguably the earliest mathematical texts (Proust, 2020, p. 346). For example, VAT 12593 (Deimel, 1922, No. 82), MS 3047 (Friberg, 2007, p. 160) and Feliu (2012) are tables of rectangles and squares that date from the Early Dynastic period (ca. 2,600-2,350 BCE). These very early tables of rectangles show the simple relationship between perimeter and surface area."
Les triplets de Pythagore font partie du lot d'apprentissage de cette époque. Avec deux principes comme l'a synthétisé Daniel Mansfield lors de son analyse de la tablette Plimpton 322 :
l'apprentissage par coeur de 'solutions', de résultats
la référence au calcul le plus simple et à ces solutions apprises, par factorisation
"a key characteristic of Mesopotamian mathematics: the questions were designed so they could be solved using only standard procedures and tables" et à propos d'un exercice "There are infinitely many diagonal triples, but only two have this property: the rectangle from §3d whose diagonal we were told to examine, and the simple (3, 4, 5) rectangle. It is not surprising that the student elects to answer this question with the numerically simple rectangle"
On vois également la notion d'homothétie ou "facteur de mise à l'échelle" appliquée à ces triplet :
"However, the Mesopotamian use of diagonal triples appears to be genuinely different. Instead of creating a small auxiliary shape, OB surveyors would create a whole region with the dimensions of a diagonal triple. It seems that one side of the region was fixed and used to determine the scaling factor. This is suggested by the land measurement exercise YBC 8633 (Neugebauer & Sachs, 1945, p. 53–55), (Høyrup, 2002, p. 254–257) where a boundary of length 1 : 40 is selected, and the (3, 4, 5) triple is enlarged by a “bundling” factor of 1:40×5¯=20 so that its diagonal matches this boundary.
The field plan Si.427 shows that a variety of diagonal triples were used in surveying, and the issue of determining the scaling, or “bundling”, factor for these triples is especially relevant. The exercise MS 3971 §4 showed that only the regular side of a rectangle can be scaled to an arbitrary length, and it now seems this is not just a toy exercise but related to a real problem in cadastral surveying. The diagonal triples (5, 12, 13) and (8, 15, 17) from Si.427 were probably chosen because their regular short and long sides are amenable to arbitrary rescaling. In conclusion, OB surveyors created accurate perpendicular lines from a variety of diagonal triples and those with regular sides were particularly useful.
Dans notre modèle de navigation à longue distance, on a, selon nos hypothèse, certains de ces triplets comme 3 4 5 et 5 12 13 qui permettent de calculer sa position, un cap et un distance totale à parcourir entre deux points de rendez-vous. On a également le 7 24 25 qui sert de base d'homothétie de la P3E vers Beigua. Avec un facteur d'échelle k qui sert plusieurs fois dans nos analyses et un triplet de diagonale 25 'facile' à mettre à l'échelle. Il est par exemple le côté 5 d'un 3 4 5.
L'usage de cercles de dimensions standards (proportionnels à U) tel qu'on les retrouve dans nos observations pourrait nous donner une piste de recherche également à ce titre : simplicité, solution exacte.
Depuis quand sait-on bâtir un cercle de façon géométrique avec précision ?
Depuis quand sait-on bâtir un cercle de façon géométrique avec précision ?
A l'exploration du cercle présumé au lieu dit les Faves, nous avons formulé l'hypothèse d'un cercle, en incluant à cette appréciation des similitudes avec l'exercice extrait d'une tablette sumérienne.
On y trouve selon notre interprétation, les points de repère clés pour construire un cercle, exactement comme dans l'ordre indiqué dans l'exercice. Nous avons refait de façon expérimentale sur site l'exercice de la tablette et positionné 28 pierres autour ce cercle.
La conception géométrique des cercles est un exercice très ancien, pratiqué et enseigné plus de 2 000 ans avant notre ère.
Présentation de cette idée par l'auteur de ce site
Mémoires de la Mission archéologique en Iran. Tome XXXIV. Mission de Susiane. TEXTES MATHEMATIQUES DE SUSE. CONTENAU ( G. ) & MECQUENEM ( R. de ) - BRUINS ( E. M. ) & RUTTEN ( M.)
Manipuler une mesure sur plusieurs échelles, est-ce une pratique ancienne ?
Manipuler une mesure sur plusieurs échelles, est-ce une pratique ancienne ?
En effet, le calcul en virgule flottante permet de manipuler des échelles très facilement et de passer d'une figure réduite à une projection de grande taille tout en utilisant les même 'écritures' numériques ou la même donnée de base. Les sumériens en abusaient, et mixaient leur arithmétique d'un calcul en base 60 extrêmement puissant car divisible par 2 3 4 5 6 9 10 12 et 15.
Dans notre modèle de navigation à longue distance, les côtés des triangles ont une "unité". On l'a vu les unités de base de l'ensemble du système proposé sont U = 13.44 km et k = 1620,37037, issus de l'homothétie P3E / Viseur des Ecrins / Beigua.
On retrouve des figures d'unités 10 U = 134,4 km (notre exemple ci dessous) qui est une sorte de virgule flottante dans notre arithmétique actuelle, sur la mesure décimale, en base 10. On a aussi, pour le cas spécifique du trajet P3E Carnac un multiple de 60 et de 10 (cf exemple ci dessous). On a la base 60 qui est là contribution sumérienne encore en vigueur de nos jours pour les calculs d'angles, et la virgule flottante qu'on n'utilise guère aujourd'hui qu'en informatique.
Ca n'est pas sans rappeler l'usage sumérien donc, même si la coexistence des deux multiples parait complexe à agencer c'était à l'époque une pratique courante.
Présentation par l'auteur de ce site
Triangle P3E / Alesia / Carnac
triplet 5 12 13 d'unité 49,766 km = 100 x 60 x U/k
Alésia / P3E = 248,832 km (Delta de 169 mètres vs le point observé)
Triangle Caden / Alesia / Anvers :
triplet 3 4 5 : unite 134,4 km = 10 U
Alesia / Anvers = 403,200 km (Delta de 1 333 mètres vs le point observé, U/10)
Du calcul flottant en Mésopotamie (2013) C. Proust
Ancient Mesopotamian’s system of measurement: possible applications in mathematics and physics teaching L A Kasprik and A C Barros 2020 J. Phys.: Conf. Ser.
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