1. Для делимости на 2 нужно, чтобы последняя цифра числа была чётная или 0.
Например, 896 делится на 2, т. к. 6 - чётное число (896 : 2 = 448). 300 делится на 2, т. к. последняя цифра 0 (300 : 2 = 150)
2. Для делимости на 3 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 3.
Например, 159 делится на 3, т. к. 1+5+9 = 15, а 15 делится на 3 (таблица умножения).
3. Для делимости на 4 нужно, чтобы две последние цифры числа были 00 или образовывали число, делящееся на 4.
Например, 548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 (48 : 4 = 12). 1100 делится на 4, т. к. две его последние цифры 00 (1100 : 4 = 275).
4. Для делимости на 5 нужно, чтобы последняя цифра числа была 0 или 5.
Например, 895 делится на 5, т. к. последняя цифра 5 (895 : 5 = 179)
5. Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).
Например, 78804 заканчивается на 4, следовательно, его можно разделить на 2. Считаем сумму цифр и получаем 27. Это число можно разделить на 3. т. е 78804 делится на 3. В итоге заключаем, что 78804 делится на 6 (78804 : 6 = 13134).
Другой признак делимости на 6: число делится на 6 тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 6. Например, число 156 делится на 6, т. к. 15 десятков, умноженные на 4, дают число 60 (15 *4 = 60), и, сложив 60 и 6 единиц, получим 66 (60 + 6 = 66), а 66 делится на 6 (66 : 6 =11). Т. е. 156 делится на 6 (156 : 6 = 26).
6. Число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7.
Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 15* 3 + 4 = 49. (154 : 7 = 22).
1001 делится на 7, так как на 7 делятся 100*3 + 1=301, в свою очередь, 30*3 + 1 = 91, а 9* 3 + 1=28 (28 делится на 7 - таблица умножения). Т. е. 1001 : 7 = 143.
Другой признак делимости на 7: если разность между числом, состоящим из 3 последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних 3 цифр), делится на 7, то данное число делится на 7.
Например, для числа 1730736: 1730 − 736 = 994, а 994 : 7 = 142. Т. е. число 1730736 делится на 7 ( 1730736 : 7 = 247248).
7. Для делимости на 8 нужно, чтобы три последние цифры числа были 000 или образовывали число, делящееся на 8. А трёхзначное число делится на 8 тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8.
Например, 952 делится на 8, так как на 8 делится 9*4 + 5*2 + 2=48, 48 : 8 = 6. (952 : 8 = 119)
8. Для делимости на 9 нужно, чтобы сумма цифр числа делилась на 9.
Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. 1+2+3+4+5+6+7+8=36, а 36 : 9 = 4. (12345678 : 9 = 1371742)
9. Для делимости на 10 нужно, чтобы последняя цифра числа была 0.
Например, 15890 делится на 10, т. к. последняя цифра 0 (15890 : 10 = 1589).
10. Для делимости на 11 нужно, чтобы модуль разности между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делился на 11 или был равен 0.
Например, 9163627 делится на 11, так как |(9+6+6+7)-(1+3+2)|=22, а 22 делится на 11. (9163627 : 11 = 833057)
11. Для делимости на 25 нужно, чтобы две последние цифры числа были 00 или образовывали число (25, 50 или 75), делящееся на 25.
Например, произведение 63 • 115 • 128 делится на 7, так как множитель, равный 63, делится на 7. (Докажите самостоятельно, что это произведение также делится на 5, на 2, на 3 и на 9.)
Например, в сумме 1248 + 356 + 402 все слагаемые — чётные числа. Поэтому и сама сумма является числом чётным.
Например, сумма 548 + 426 + 719 есть число нечётное, так как слагаемые 548 и 426 на 2 делятся, a 719 на 2 не делится.
Обратите внимание: утверждение «если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число» неверно. Это легко показать, приведя контрпример: так, ни одно из чисел 41 и 84 на 5 не делится, a их сумма, равная 125, делится на 5.
Пример 1. Проверим, не выполняя деления, является ли число 11 делителем числа 1353.
Представим число 1353 в виде какой-либо суммы так, чтобы вопрос о делимости на 11 каждого из слагаемых был очевиден, например: 1353 = 1100 + 220 + 33. Каждое слагаемое делится на 11, a значит, и сумма, равная 1353, делится на 11.
Пример 2. Выясним, делится ли на 4 сумма четырёх последовательных натуральных чисел.
Запишем сумму четырёх последовательных натуральных чисел и преобразуем её:
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6.
Первое слагаемое делится на 4, a второе не делится. Значит, рассматриваемая сумма на 4 не делится.