Практика. Задачи на проценты.

1. Верно ли, что:

• 1 см составляет 1% от 1 м;
• 1 г составляет 1% от 1 кг;
• 1 а составляет 1% от 1 га;
• 1 л составляет 1% от 1 куб. м;
• 245 чел. составляют больше 1% от 10000 человек;
• 245 чел. составляют больше 1% от 40000 человек;
• 3,3 млн. руб. больше 3 млн. руб. менее чем на 1%;
• масса 990 г меньше 1 кг не более чем на 1%.

2. Округлите десятичную дробь до сотых, а затем выразите в % соответствующую ей часть величины:

а) 0,715; б) 0,3961; в) 1,004; г) 0,0959595.

3. Расшифруйте название европейского государства, подобрав указанные доли величины. Вырази в процентах, какую примерно часть площади Санкт- Петербурга оно составляет и какую часть населения Санкт-Петербурга составляет его население (необходимые числовые данные узнай в энциклопедии).

1 - четверть 80% - Р

2 - примерно треть 20% - О

3 - половина 25% - А

4 - пятая часть 50% - Д

5 - примерно две трети 75% - А

6 - четыре пятых 66% - Р

7 - три четверти 33% - Н

4. Число умножили на 0,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

Число умножили на 2,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно возросло на 35%?

На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно уменьшилось на 30%?

5. Аэросани прошли путь от полярной станции до посёлка, равный 360 км, за 3 часа. В первый час они прошли на 36 км меньше, чем во второй, а в третий час - в 1,6 раза больше, чем в первый. Какую часть пути проходили аэросани в каждый час? Выразите эти части обыкновенными дробями, десятичными дробями и в процентах.

6. Служащая банка объяснила клиенту, что вложенная сумма увеличится на 200%, то есть в 2 раза. Как исправить сказанное, если проценты указаны верно?

7. В референдуме приняли участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в референдуме, если в городе 150 тыс. жителей, а право голоса имеют 83%?

8. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ или заказы, чтобы заработать 10000 рублей?

9. Начертите план своей квартиры. Выразите в процентах площадь каждой комнаты от площади квартиры.

10. Произведение двух натуральных чисел равно 10, а их сумма составляет 70% от произведения. Найдите эти числа. Составьте свою аналогичную задачу.

11. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30% от дохода, у предпринимателя осталось 42000 рублей. аков доход предпринимателя?

12. 12 июня 1812 года 450000 французов вторглись в Россию, 200000 русских приняли бой. На сколько процентов численность французской армии превосходила численность русской?

13. Накануне Бородинского сражения в состав русской армии входила пехота в количестве 72000 человек, 25% от пехоты составляла кавалерия, артиллеристов было на 4000 меньше, чем кавалеристов, а казаки составляли 50% от артиллерии, ратников ополчения было 10000. Какова была численность русской армии? Сколько процентов составляла пехота от всей армии? Ответ округлите до десятых.

14. Накануне Бородинского сражения в состав французской армии входили 30000 кавалеристов, пехота составляла 300% от кавалерии, артиллерия - 50% от кавалеристов, инженерные войска составляли 20% от артиллерии. Какова была численность французской армии? На сколько процентов превосходила её численность русскую армию (см. задачу 13)? Ответ округлите до десятых.

15.В одной из басен И.А. Крылова отражён такой исторический факт: когда Наполеон, находясь в горящей Москве, понял, что ему грозит гибель, он стал просить мира. Посол Наполеона прибыл в ставку Кутузова с предложением мирных переговоров. Кутузов наотрез отказался вступать в переговоры. Решимость Кутузова потрясла Крылова, через некоторое время он и написал эту басню. Все узнали в мудром, седом Ловчем Кутузова, а в лицемерном Волке - Наполеона. Чтобы узнать название басни, решите уравнения и найдите заданные проценты от корня уравнения. Выберите буквы из перечня согласно процентам:

3x -1 = 11 50% 100% 250% 500% 600%

7(1,2x - 12) = 0 80% 90% 50%

10 - x/7 = 8 100% 50% 150% 200%

ЖВБОЛГКНАПЗИЦСЕУМФЮАРЬПНИШЯЕ

16. Сколько составляют:

а) 8% от 6 кг; г) 0,4% от 0,25 с.; ж) 20% от 15,25; к) 12% от а;

б) 30% от 15 м; д) 1,25% от 800 т; з) 75% от 80%; л) 35,6% от b;

в) 200% от 72 л; е) 33 1/3 % от 27 куб. см; и) 0,1% от 0,1%; м) 33 2/3 от с?

17. Что больше:

а) 15% от 17 или 17% от 15; б) 1,2% от 48 или 12% от 480; в) 147% от 621 или 125% от 549; г) 72% от 150 или 70% от 152;

д) 80% от а или 40% от 2а; е) 36% от 2,5b или 1,5% от 80b?

18. В двух магазинах были одинаковые цены. В одном магазине их сначала понизили на 15%, а потом повысили на 10%, а в другом - сначала повысили на 10%, а потом понизили на 15%. Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными? В каком из них выгоднее купить одинаковый товар?

19. Мясо при варке теряет 40% своей массы. Сколько варёного мяса получится из 6 кг свежего? Сколько свежего мяса надо взять, чтобы получить 6 кг варёного?

20. У Алёши 80 марок, у Бори на 20% марок больше, чем у Алёши. У Вовы на 25% меньше марок, чем у Алёши. Сколько марок у Бори и у Вовы в отдельности?

21. Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти ещё 5 км. Какова длина всего маршрута?

22. Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60% сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену? 23. Билет на автобус стоит 50 руб. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 500 рублей после повышения цены билета на 10%?24. Альбом стоит 30 рублей. Какое максимальное количество альбомов можно купить на 500 рублей после понижения цены альбома на 10%?

25. В лицее 900 учеников, из них 25% - ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают английский язык. Сколько учеников в лицее изучают английский язык, если в начальной школе английский язык не изучается?

26. В июле 1 кг персиков стоил 270 руб., в августе персики подорожали на 20%, а в сентябре ещё на 25%. Сколько рублей стоил 1 кг персиков после подорожания в сентябре?

27. Мобильный телефон стоил 7500 рублей. Через три месяца цену на эту модель снизили до 6000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

28. Сложили три числа. Первое составило 25% суммы, а второе - 40%. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.

29. 3/5 класса пошли в кино, 15% класса - на выставку, а остальные 10 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек в классе?

30. Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35% остальных рабочих отдыхали осенью, и ещё 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?

31. Магазин продал до обеда 20% привезённого картофеля, а после обеда - 3/16 остатка. П

осле чего осталось продать ещё 2,6 т картофеля. Сколько тонн картофеля привезли в магазин?

32. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

33. В месяце было 12 солнечных дней и 18 пасмурных. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни?

34. Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.

35. На сколько процентов 50 больше, чем 40?

36. Каждую сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличилась его площадь?

37. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20%, две другие уменьшили на 20%. Как изменилась площадь прямоугольника?

38. Магазин на прошлой неделе продал некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10% меньше, но по цене на 10% больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой недели и на сколько процентов?

39. Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нём уменьшилось до 98%. Какова теперь масса арбуза?

40. При помоле пшеницы получается 80% муки, а при помоле ржи - 75%. Для помола взяли 4 ц пшеницы и 5 ц ржи. Какой муки получится меньше?

41. Найдите:

• число, 25% которого равны 6,25% от 4 3/5;
• число, 20% которого равны 12,5% от 3 3/7.

42. Число 76 составляет 40% от данного числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

43. Нарисуйте прямоугольник. Нарисуйте ещё три прямоугольника так, чтобы площадь исходного прямоугольника составляла 25% площади каждого из них.

44. Мальчик прочитал 25% книги, а затем 2/3 оставшейся части. После этого он заметил, что прочитал на 75 страниц больше, чем ему осталось прочитать. Сколько страниц в книге?

45. В книге 720 страниц. За 3 дня Вася прочитал 35% всей книги, причём 25% от этого количества - в первый день. Сколько страниц прочитал Вася в первый день?

46. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилась на 10%. В какой бочке стало больше воды?

47. У Буратино было некоторое число монет, на которые он мог купить либо букварь, либо курточку. Вместо этого он закопал их на поле чудес, которое ежемесячно приносило 25% дохода. Через сколько месяцев Буратино сможет купить и букварь, и курточку?

48. Буратино предложил купить ириски. На что практичная Мальвина ответила: «Давай лучше купим леденцов. Купить их можно на 50% больше, а заплатить за них придётся больше только на 25%». Во сколько раз леденцы дешевле ирисок?

49. Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже ¹/₅ км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего ³/₇ того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино?

50. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

51. В 1812 году он в чине поручика инженерных войск в бою под красным (Смоленская губерния) был тяжело ранен. Попал в плен и был отправлен в Саратов, где пребывал до 1814 года. Во Францию он вернулся с семью тетрадями, в которых были изложены основы новой геометрии. Кто он?

• его фамилия состоит из 7 букв;
• если сложить все числа, соответствующие буквам согласно алфавиту, то получим 92;
• если число, соответствующее первой букве, увеличить на 6, то полученный результат составит 25% от всей суммы;
• сумма первого и второго числа, уменьшенная на 10, также составляет 25% от всей суммы;
• пятое и седьмое числа составляют по 37,5% от второго;
• третье число - это 30% от суммы первого, второго, пятого и седьмого чисел, увеличенной на 5;
• четвёртое число, уменьшенное на 0,25, составит 125% от третьего.

Узнайте из дополнительных источников, какую геометрию он открыл.

52. Сколько учеников в школе Пифагора?

– Скажи мне, знаменитый Пифагор: сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

– Вот сколько, – ответил философ. – 50% изучает математику, 25% – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, а кроме того, есть еще три женщины.

Сколько учеников в школе Пифагора (их еще называли «пифагорейцы»)?

53. Известно, что среди шестиклассников каждый седьмой — любитель кино, а среди любителей кино каждый пятый — шестиклассник. Кого больше: шестиклассников или любителей кино?

54. Луч, проведённый из вершины прямого угла, делит его на два угла. Один из этих углов составляет 33 % прямого угла. Вычислите градусные меры обоих углов.

55. Из пшеницы получается 84 % муки. Определите, сколько смололи пшеницы, если получили 2,52 т муки. Сколько муки получится из 2,3 т пшеницы?

56. Длина прямоугольного участка — 200 м, а ширина его составляет 69 % длины. Вспахано 31 % площади этого участка. Определите, сколько гектаров не вспахано.

57. Александр Великий – строитель? Если к количеству городов, которые основал Александр Великий, добавить количество современных государств, на территории которых они сейчас находятся (а это составляет половину количества городов), а потом еще 10% от суммарного количества городов и государств, то получим количество лет, которое прожил Великий Александр. Кстати, города свои он обычно называл Александриями. 60% основанных городов существуют и поныне, но поменяли названия (кроме одного). Сколько городов, основанных царем Македонии, дошли до наших дней? Александр Македонский родился в 356 г. до н. э., умер в 323 г. до н. э.

58. Во времена Сервия Туллия (шестой из царей Древнего Рима) в Риме в VI веке до н. э. было столько жителей, что все они уместились бы в Колизей, построенный в 80 г. н. э. императором Веспасианом, и еще 7 тыс. мест остались бы свободными (по сведениям дошедшего до наших дней хронографа 354 г.). Во время постройки этого уникального сооружения в Риме уже жил 1 млн человек. Позже современными учеными было установлено, что в Колизее могло бы уместиться 5% населения тогдашнего города. На сколько ошибался хронограф 354 г., если при Сервии Туллии в Риме проживало 80 тыс. человек?

59. Сколько градусов содержит угол, если он составляет:

• 20% от развёрнутого угла;
• 60% от развёрнутого угла%
• 40% от прямого угла;
• 25% от 90°

60. В каком случае первоначальная цена больше:

• если при скидке 5% заплачено 190 руб.
• если при скидке 10% заплачено 180 руб.;
• если при скидке 20% заплачено 170 руб.;
• если при скидке 30% заплачено 140 руб.?

61. Как изменилась величина, если она:

• сначала увеличилась на 20%, а потом увеличилась на 25%;
• сначала увеличилась на 20%, а потом уменьшилась на 25%;
• сначала уменьшилась на 20%, а потом уменьшилась на 25%;
• сначала уменьшилась на 20%, а потом увеличилась на 25%?

62. Хозяйка купила 3 кг яблок по цене 40 руб. за килограмм. На следующий день в этом магазине на эти яблоки была скидка 20%, и хозяйка купила ещё 5 кг яблок. Чему равна средняя цена купленных хозяйкой яблок?

63. Встречается это растение на всех континентах. В народе оно слывёт как ёлка, земляная шишка, свинячник. Научное же название в переводе означает "лошадиный хвост". Ветвистая трава действительно отдалённо напоминает конский хвост, особенно когда веточки опустишь концами вниз. Это древнейший представитель земной растительности. Его предки были гигантами. Теперь же, глядя на него, трудно представить мощные леса из этого растения. О каком растении идёт речь?

• Найдите 20% от А. А = 5,3 + 27*0,1 - 7,8
• 2,5*0,02:0,001 - 49,9 - это 10% от ответа
• 25% от 15,26-4,5*(0,28+2)
• (40,48+9,52-0,4) : 0,2 - это 50% ответа

О=0,04; П=4; В=1; Л=0,01; С=0,1; Х=1,25; А=20; Р=3,4775; Щ=496; Е=124.

64. В каком случае вкладчик получит больше денег: если банк начисляет доход в 12% раз в год или если он начисляет по 1% каждый месяц? (Начисленный доход сразу добавляется к имеющейся на счету сумме.)

65. На международной конференции 85% делегатов знают английский язык, а 75% - испанский (каждый из делегатов знает хотя бы один из этих языков). Какая часть делегатов наверняка знает оба языка?

66. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, то общий доход семьи возрастёт на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату - то на 15%, если же зарплату удвоят папе - то на 25%. Как возрастёт доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

67. На содержание царских писарей тратили 1000 руб. в год. Все писари получали поровну. Было задумано сократить количество писарей на 50%, а оставшимся повысить жалование на 50%. Как изменятся затраты царя на писарей?

Источник:

• Выговская В.В. Сборник практических задач по математике, 6 класс. - М.: Вако, 2019
• Дорофеева Г.В., Петерсон Л.Г. Математика (в 3 частях). 6 класс: учебник. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2019.
• Московец Д. История и математика рука об руку. 50 математических задач для школьников на основе исторических событий. Древний Рим, Греция, Египет и Персия. - М.: Издательские решения, 2018
• Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5-6. - М.: Илекса, 2018
• Виват, математика. Занимательные задания и упражнения. 6 класс/ авт.-сост. Н.Е. Кордина. - Волгоград: Учитель, 2020.
• Образовательная платформа https://www.yaklass.ru
• Малый Мехмат МГУ http://mmmf.msu.ru