Сумма и разность синусов/ косинусов/ тангенсов/ котангенсов

С помощью формул суммы и разности синусов и косинусов можно перейти от суммы или разности к произведению тригонометрических функций. Часто эти формулы называют формулами перехода от суммы к произведению. Формулы суммы и разности синусов и косинусов широко используются при решении тригонометрических уравнений и при преобразовании тригонометрических выражений.

Сразу скажу, что не стоит путать формулы суммы и разности синусов и косинусов с формулами синусов и косинусов суммы и разности.

_{sinα+sinβ=2sin((α+β)/2)*cos((α−β)/2)}

_{sinα−sinβ=2sin((α−β)/2)*cos((α+β)/2)}

cosα+cosβ=2cos((α+β)2)*cos((α-β)/2)

cosα-cosβ=-2sin((α+β)/2)*cos((α-β)/2) или cosα-cosβ=2sin((α+β)/2)*sin((β-α)/2)

Данные формулы справедливы для любых углов α и β. Углы (α+β)/2 и (α−β)/2 называются соответственно полусуммой и полуразностью углов альфа и бета.

Вот словесная формулировка для каждой формулы:

Сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус полуразности.

Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус полусуммы.

Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы и косинуса полуразности этих углов.

Разность косинусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности этих углов, взятому с отрицательным знаком.

Опять "косинусы себя любят"!

Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность):

sinα * cosβ = (sin(α + β) + sin(α - β))/2

cosα * cosβ = (cos(α + β) + cos(α - β))/2

sinα * sinβ = (cos(α - β) - cos(α + β))/2

При решении некоторых задач бывают полезны формулы суммы/ разности тангенсов/ котангенсов:

tgα+tgβ = sin⁡(α+β)/(cosα*cosβ)

tgα-tgβ = sin⁡(α-β)/(cosα*cosβ)

Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Разность тангенсов двух углов равна отношению синуса разности этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Формулы верны при всех тех значениях углов, при которых определена функция тангенс.

ctgα+ctgβ = sin⁡(α+β)/(sinα*sinβ)

ctgα-ctgβ = sin⁡(β-α)/(sinα*sinβ)

Сумма котангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению синусов тех же углов.

Разность котангенсов двух углов равна отношению синуса разности углов в обратном порядке к произведению синусов тех же углов.

Потренируемся:

Пример 1.

Преобразуйте разность cos3x-cos5x в произведение.

Решение. Используя формулу разности косинусов, получаем:

cos3x-cos5x = 2sin((3x+5x)/2)*sin((5x-3x)/2) = 2sin4x*sinx

Пример 2.

Преобразуйте сумму cos5x+sinx в произведение.

Решение. Сначала применим формулы приведения, чтобы преобразовать косинус в синус, затем применим формулу суммы синусов:

cos5x+sinx = sin(π/2-5x) + sinx = 2sin((π/2 - 5x + x)/2) * cos((π/2 - 5x - x)/2) = 2sin(π/4 - 2x) * cos(π/4 - 3x)

или

cos5x+sinx = sin(π/2+5x) + sinx = 2sin((π/2 + 5x + x)/2) * cos((π/2 + 5x - x)/2) = 2sin(π/4 + 3x) * cos(π/4 + 2x)

Пример 3.

Преобразуйте выражение tgx + tgy (собственно, это вывод формулы суммы тангенсов)

Решение. По определению тангенса и по формуле синуса суммы получим:

tgx + tgy = sinx/cosx + siny/cosy = (sinx*cosy + cosx*siny)/(cosx*cosy) = sin(x + y)/(cosx*cosy)

Пример 4.

Вычислить cos 165° - cos 75°

Решение. Сначала используем формулу разности косинусов:

cos 165° - cos 75° = -2 * sin((165° + 75°)/2) * sin((165° - 75°)/2) = -2 * sin120° * sin45°

Воспользуемся формулами приведения:

sin120° = sin(180° - 60°) = sin60° = √3 /2

Поэтому cos 165° - cos 75° = -2 * (√3 /2) * (√2 /2) = -√6 /2

Ответ: -√6 /2.

Пример 5.

Доказать тождество (sin2α + sin5α - sinα)/(cosα + cos2α + cos5α) = tg2α

Решение. Применяя формулы разности синусов и суммы косинусов для левой части равенства, получим:

(sin2α + sin5α - sinα)/(cosα + cos2α + cos5α) = (sin2α + 2sin2α *cos3α )/(cos2α + 2cos3α *cos2α ) = sin2α (1 + 2cos3α )/(cos2α (1 + 2cos3α )) = sin2α /cos2α = tg2α

tg2α = tg2α ч. т. д.

Пример 6.

Доказать тождество sin3α = 4sinα *sin(π/3 + α ) *sin(π/3 - α )

Решение. Преобразуем правую часть тождества, используя формулы преобразования произведения синусов в разность косинусов и произведения синуса и косинуса в сумму синусов:

4sinα *sin(π/3 + α ) *sin(π/3 - α ) = 4sinα ((cos(π/3 + α - π/3 + α) - cos(π/3 + α + π/3 - α))/2 = 2sinα (cos2α - cos(2π/3)) = 2sinα *cos2α + sinα = sin3α - sinα + sinα = sin3α

sin3α = sin3α ч. т. д.

Иногда бывают полезны следующие формулы:

cosα + sinα=√2 cos⁡(π/4-α)=√2 sin⁡(π/4+α)

cosα - sinα=√2 sin⁡(π/4-α)=√2 cos⁡(π/4+α)

tgα + ctgβ = cos⁡(α-β)/(cosαsinβ)

tgα - ctgβ = cos⁡(α+β)/(cosαsinβ)

Посмотрите видеоурок о доказательстве указанных формул и примерах решения: