На растворы, смеси и сплавы

Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Рассмотрим правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.

Концентрация - это отношение объёма вещества к объёму раствора. Или отношение массы вещества к массе раствора.

В решении подобных задач помогает картинка.

Внимание!

Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 5 литров - 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим х.

Первый сосуд содержал 0,12*5 = 0,6 (литра) вещества.

Во втором сосуде была только вода.

Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

0,12 * 5 = (х/100) * 12

х = 0,12 * 5 * 100/12

х = 5 %

Ответ: 5% концентрация получившегося раствора.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть первого раствора было х (л).

Второго — тоже х (л) - по условию, такое же количество раствора.

В результате получили раствор 2х (л).

Рисуем картинку.

Получаем:

15%х - объём вещества в первом растворе;

19%х - объём вещества во втором растворе.

Вместе:

15%х + 19%х = 0,15х + 0,19х

В итоге, мы получаем раствор, объём которого в 2 раза больше, чем первоначальный:

0,15х + 0,19х = р * 2х

р = (0,15 + 0,19)/2 = 0,17, т. е. 17%

Ответ: 17% концентрация получившегося раствора.

Задача 3.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Решение:

В винограде содержалось 90% воды, значит, «сухого вещества» было 10%.

В изюме 5% воды и 95% «сухого вещества».

Пусть из х (кг) винограда получилось 20 (кг) изюма.

Тогда 0,1х = 0,95 * 20

х = 0,95 * 20/0,1 = 190 (кг)

Ответ: 190 кг винограда.

Задача 4.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава равна x (кг), а масса второго равна y (кг).

В результате получили сплав массой х + y = 200

0,1х + 0,3y = 0,25 * 200 (мы пользуемся тем, что количество никеля не менялось, каким было в начале, таким и осталось в конце)

И х + y = 200

Решим эту систему:

С дробными коэффициентами работать неудобно, поэтому умножим и левую и правую части первого уравнения на 10. Получим:

х + y = 500

Вычитая из одного уравнения другое, получаем:

2y = 300

y = 150 (кг)

х = 200 - 150 = 50 (кг)

Разность между массами сплавов равна:

150 - 50 = 100 (кг)

Ответ: 100 кг разность между массами сплавов.

Задача 4.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Пусть х (кг) - масса первого раствора

Тогда y (кг) - масса второго раствора

Масса раствора, полученного в результате: х + y + 10

Составим уравнение:

0,3х + 0,6y = 0,36(х + y+ 10)

Следующее условие: если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты.

Составим ещё одно уравнение:

0,3х + 0,6y + 0,5 * 10 = 0,41*(х + y + 10)

Решим систему уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое. Получим:

5 = 0,05(х + y+ 10)

х + y = 90 (1)

Подставим эту сумму в первое уравнение системы. Тогда получим:

0,3х + 0,6y = 36

Умножим обе части полученного уравнения на 10, чтобы коэффициенты были целые:

3х + 6y = 360

Разделим обе части уравнения на 3:

х + 2y = 120 (2)

Из двух уравнений (1) и (2) получаем х = 60 (кг)

Ответ: 60 кг 30-процентного раствора использовали для получения смеси.

Существует ещё один старинный метод решения подобных задач.

Метод Пирсона (или квадрат Пирсона) в решении задач на сплавы и смеси.

Метод этот может сильно облегчить жизнь многим школьникам, однако применять его надо не бездумно.

Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями, решение производится по правилам креста или квадрат Пирсона.

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.

Если обозначить массу первого раствора через m ₁, а второго – через m ₂, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс.

Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – ω ₁, во втором – ω ₂, а в их смеси – ω ₃. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:

m ₁ ω ₁ + m ₂ ω ₂ = ω ₃(m ₁ + m ₂),

m ₁(ω ₁ – ω ₃) = m ₂(ω ₃ – ω ₂),

Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого

вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

ω₁ ω₃ — ω₂

ω₃

ω₂ ω₁ — ω₃

Например:

Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?

72 80-75=5

75 800:( 5+3)=100г приходится на одну часть

80 75-72=3

для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять: 72%-ного сплава 100·5 = 500 г,

а 80%-ного 100·3 = 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

8.Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Ответ: 7 килограммов.

Источники:

• Сдам ГИА: Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика профильного уровня. Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru

• Сайт Анны Денисовой "Простая физика". Режим доступа: https://easy-physic.ru

• Сайт компании ЕГЭ-студия. Режим доступа: https://ege-study.ru