Десятичные дроби

Существует особый вид дробей — десятичные дроби.

Выглядят они так: 5,6; 3,17; 0,191 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей , у которых знаменатель равен 10, 100, 1000, 10 000 и т.д.

Такие дроби договорились записывать без знаменателя. Например, 27/100 = 0,27

Обратите внимание, что у десятичных дробей, как и у смешанных чисел, есть целая и дробная части:

42,53

где 42 - целая часть;

53 - дробная часть.

Запятая (её называют десятичная запятая) разделяет целую и дробную части.

Правило:

Запись дробной части десятичной дроби содержит столько цифр, сколько нулей в записи знаменателя обыкновенной дроби.

Т.е. если в знаменателе дроби стоит число 100, имеющее два нуля, то в записи десятичной дроби после запятой будет две цифры. Например, 27/100 = 0,27

Правило (как записать десятичную дробь)

I случай. Знаменатель обыкновенной дроби - единица с одним или несколькими нулями.

1. Запишите целую часть обыкновенной дроби. Если её нет, то запишите ноль. Если дана неправильная дробь, то выделите целую часть и запишите её.

2. Поставьте запятую.

3. Запишите числитель обыкновенной дроби таким образом, чтобы справа налево в нём было столько десятичных знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби; если цифр меньше, чем нулей, то допишите нули слева к числителю (между запятой и первой значащей (не нулевой) цифрой). Т.е. уравняйте количество цифр в числителе с количеством нулей в знаменателе.

Например,

Запишем дробь 105/10000000 в виде десятичной дроби.

Количество нулей в знаменателе равно 7, а в числителе только три цифры. Допишем перед числом в числителе еще 4 нуля: 0000105

Теперь записываем 0, ставим после него десятичную запятую и записываем число из числителя с "дописанными" нулями. Получаем десятичную дробь 0,0000105.

II случай. Знаменатель обыкновенной дроби не является "единицей с нулями".

1 способ.

1. Разложите знаменатель обыкновенной дроби на простые множители. Внимание! Если полученное разложение знаменателя содержит простые множители, отличные от 2 и 5, то эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

2. Если разложение знаменателя на простые множители содержит только 2 и 5, то умножьте числитель и знаменатель дроби на столько двоек и пятёрок, чтобы знаменатель стал "единицей с нулями".

3. Запишите дробь по алгоритму I случая.

Однако такой способ перевода обыкновенной дроби в десятичную удается использовать не всегда.

2 способ.

1. Разделите числитель дроби на её знаменатель уголком, предварительно убедившись, что дробь можно перевести в конечную десятичную (проверить разложение знаменателя на простые множители, см. 1 способ)

Эта операция очень похожа на деление натуральных чисел столбиком, но имеет свои особенности.

Числитель при делении представляется в виде десятичной дроби - справа от последней цифры числителя ставится запятая и дописываются нули. В получившемся частном десятичная запятая ставится тогда, когда заканчивается деление целой части числителя. Как именно работает этот способ, станет понятно после рассмотрения примеров.

Переведем обыкновенную дробь 621/4 в десятичный вид.

Представим число 621 из числителя в виде десятичной дроби, добавив после запятой несколько нулей. 621=621,00

Теперь разделим столбиком 621,00 на 4. Первые три шага деления будут такими же, как при делении натуральных чисел, и мы получим.

Когда мы добрались до десятичной запятой в делимом, а остаток отличен от нуля, ставим в частном десятичную запятую, и продолжаем делить, не обращая более внимания на запятую в делимом.

В итоге мы получаем десятичную дробь 155,25, которая и является результатом обращения обыкновенной дроби 621/4

621/4=155,25

2. Если деление выполнено без остатка, то в ответе получите десятичную конечную дробь.

Полезный совет.

Ниже приведен список дробей со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях. Вы облегчите себе работу, если их просто выучите.

1/2=0,5; 1/4=0,25; 3/4=0,75; 1/5=0,2; 2/5=0,4; 3/5=0,6; 4/5=0,8; 1/25=0,04; 1/50=0,02

Как читать десятичные дроби.

Вы помните, как сравнивать дроби с одинаковыми числителями? Например, 1/10; 1/100; 1/1000. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, знаменатель которой меньше. Именно поэтому разряды дробной части расположены в таком порядке, как указано на рисунке.

Из истории десятичных дробей.

История десятичных дробей тесно связана с метрологией — учением о мерах. Уже во II в. до н. э. существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в. появилась десятичная система мер массы и объема. Тогда же возникло и понятие десятичной дроби.

1600 лет назад десятичные дроби использовались в Древнем Китае. Основной мерой длины там была мера ЧИ. Другие, более мелкие мерки строились таким образом, чтобы каждая последующая равнялась одной десятой части предыдущей. В этой системе значение цифры зависело от ее места, то есть система являлась позиционной. Каждый разряд имел определенное название, связанное с мерой длины.

Кроме того, китайский математик III в. Лю Хуэй рекомендовал пользоваться дробями со знаменателем 10, 100 и т.д. при извлечении квадратных корней. Он имел ввиду правило которым, впоследствии часто пользовались многие арабские и европейские математики.

С этим правилом вы познакомитесь в старших классах. Именно оно, наряду с некоторыми другими вычислительными приемами, во многом способствовали введению в науку десятичных дробей.

Целую часть от дробной в Китае отделяли особым иероглифом – «дянь» («точка»).

Раньше в древнем Вавилоне использовали дроби похожего типа.

В III тысячелетии до нашей эры вавилоняне пользовались дробями, у которых знаменатели были степенями числа 60, то есть шестидесятеричными дробями.

Позже шестидесятеричные дроби стали использовать греческие и арабские математики. В арабских государствах некоторые весовые и денежные единицы подразделялись на 60 меньших единиц, например: 1 диргем = 60 ашир. Однако было крайне неудобно проводить вычисления над натуральными числами, записанными в десятичной системе счисления, и дробями, записанными в шестидесятеричной.

Людям помог светлый разум одного известного учёного.

В XV в. полную теорию десятичных дробей разработал самаркандский астроном Джемшид ибн Масуд ал-Каши в трактате "Ключ к арифметике" (1427 г.). Он подробно изложил правила действий с десятичными дробями.

Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и в то же время удобную систему дробей, основанную на десятичной системе счисления и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби. Так, ал-Каши ввёл специальную запись для десятичных дробей: целую и дробную части он записывал в одной строке. Ал-Каши записывал десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами, а целую - чернилами другого цвета, или же дробную часть от целой отделял вертикальной чертой.

Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 150 лет после того, как эти дроби в конце XVI века были заново открыты инженером и учёным Симоном Стевиным из Фландрии.

В 1585 году Симон Стевин написал небольшую книгу под названием «Десятая». Она состояла всего лишь из 7 страниц, однако полностью излагала теорию десятичных дробей. Запись десятичных дробей у Симона Стевина опять же отличалась от нашей. Он предложил писать цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Вместо запятой С. Стевин записывал ноль в кружке. А в других кружках или над цифрами указывал их десятичный разряд: один – десятые, два – сотые и т. д.

Симон Стевин был первым учёным, который потребовал введения десятичной системы мер и весов. Однако мечта учёного осуществилась лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

А когда же появилась привычная нам запись десятичных дробей?

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Кстати, на территории США до сих пор десятичные дроби пишут именно таким образом.

В 1617 году шотландским математиком Джоном Непером было предложено в качестве знака для разделения целой и дробной частей использовать как запятую, так и точку.

Кстати, в связи с бурным развитием программирования точку при записи десятичных дробей используют чаще.

Десятичные дроби пробивали себе дорогу в упорной борьбе со старыми шестидесятеричными дробями. Однако, благодаря своим большим преимуществам и достоинствам десятичной системы в целом, десятичные дроби завоевали себе всё больше места. Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовало всё более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей было выполнить гораздо легче. Окончательно шестидесятеричные дроби были вытеснены десятичными только в XVIII веке.

В России учение о десятичных дробях впервые изложил в своей «Арифметике» Леонтий Магницкий в 1703 г.

Широчайшее применение десятичные дроби получили в XIX веке, после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов.

Источник:

1. http://math-prosto.ru

2.