11 класс

«Стратегия без тактики — это самый медленный путь к победе. Тактика без стратегии — это просто суета перед поражением»

Сунь Цзы.

22 января

Продолжаем подготовку к экзамену.

Решите задачи:

1. В августе 1 кг баклажанов стоил 60 рублей. В сентябре баклажаны подорожали на 25%, а в октябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг баклажанов после подорожания в октябре?

2. Оптовая цена учебника 150 рублей. Розничная цена на 15% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 4550 рублей?

3. Девочка Маша уехала учиться в Лондон и через 3 года написала бабушке, что выросла на 1 фут и 3 дюйма. У бабушки нет ни ноутбука, ни калькулятора. Помогите посчитать, на сколько сантиметров выросла внучка! 1 фут равен 12 дюймам, 1 дюйм считаем равным 2,54 см. Ответ округлите до целого числа сантиметров.

4. Из пункта А в пункт В можно доплыть по реке, причем из пункта А в пункт В катер идет 3 часа, а обратно – четыре. Найти, сколько часов будет плыть плот из А до В.

5. Десять одинаковых пирожных дороже большого торта на 4%. На сколько процентов пятнадцать таких же пирожных дороже торта?

6. Сколько килограммов свежей клюквы потребуется для получения 62 килограммов сушеной клюквы, если свежая клюква содержит 90% воды, а сушеная клюква – всего 5% воды?

7. Степан хочет сдать ЕГЭ по математике не ниже 80 баллов, но при этом не напрягаться. 30 сентября Степан написал Репетиционный ЕГЭ на 37 баллов. Он рассчитывает, что каждый месяц его результат будет увеличиваться на 5 тестовых баллов. Сколько месяцев занятий нужно Степану, чтобы он смог решить вариант ЕГЭ не хуже, чем 80 баллов?

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если его вершины имеют координаты A(1;1), B(−3;2), C(3;1)и D(2;−2)

9. Диаметр апельсина равен 10 см. Диаметр апельсина без кожуры равен 8 см. Сколько процентов от объема апельсина занимает кожура? Апельсин (в кожуре и без нее) считать шарообразным.

10. Решите уравнение  √(12+x)=x.

 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней

11. Найдите sinα , если известно, что ctgα=−0,75 и 2π<α<3π.

12. Упростите выражение:

7cos(π−β)+2sin(π/2+β)/cos(β+3π)

Решение приносим с собой в понедельник на очный урок.

5 февраля (работы присылаем мне на электронную почту)

Для Лизы, Киры, Влады: диагностическая работа + долги (всё есть на электронной почте у Лизы)

Для Полины (работа над ошибками - вычисление производной - сделать весь лист):

7 февраля

Закрываем тему производных.

Ещё раз о графиках (как на ЕГЭ) - решение присылаете мне на почту до четверга (10.01):

1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

2. На рисунке изображен график функцииy=f(x). Найдите количество целых точек интервала (−2;11), в которых производная функции f(x) положительна.

3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите точку экстремума функции f(x)на отрезке [−5; 4].

4. На рисунке изображены график функции y= f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

5. На ри­сун­ке изображен гра­фик функции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Най­ди­те количество точек, в ко­то­рых производная функ­ции f(x) равна 0.

6.На ри­сун­ке изображен гра­фик функции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 9). Определите, на каких промежутках производная функции отрицательна. В ответе запишите длину наибольшего такого промежутка.

7.На ри­сун­ке изображён гра­фик y = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), определённой на ин­тер­ва­ле (−6; 5). В какой точке от­рез­ка [−1; 3] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее значение?

8.На ри­сун­ке изображён гра­фик y = f'(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x), определённой на ин­тер­ва­ле (−6; 5). В какой точке от­рез­ка [−5; - 3] функ­ция f(x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее значение?

9.На ри­сун­ке изображён гра­фик функ­ции y= f(x), определённой на ин­тер­ва­ле (−3; 8). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 1.

10.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x)на отрезке [-6; 9].

11. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-7; 14). Найдите абсциссу точки минимума функции f(x) на данном интервале.

12. Материальная точка движется прямолинейно по x(t)=t ² −3t–29, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с

13 На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (−10; 3). Найдите количество решений уравнения f′(x)=0 на отрезке [−7,5; −2,5].

14. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s. Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

15. На ри­сун­ке изображён гра­фик y=f′(x) — про­из­вод­ной функ­ции f(x). На оси абс­цисс отмечено де­вять точек: x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9. Сколь­ко из этих точек при­над­ле­жит промежуткам возрастания функции f(x)?

12 февраля

1. Сдаём долги.

2. Первообразная функции.

Функция F(x), для которой f(x) является производной, называется первообразной функции y = f(x). Функции вида у = F(x) + C образуют множество первообразных функции у = f(x).

Первообразная обозначается: F(x).

Сейчас объясню, что это значит.

Вспомним таблицу производных (она у вас есть). В левой колонке — функции, в правой — их производные. Например, 2х— производная от функции y=x²;

cosx — производная функции y= sinx .

А чем будет являться y=x² для функции y=2x ? Или y= sinx — для функции y=cosx? Вы уже догадались. Первообразной.

Замечу, кстати, что y=2x — производная не только функции y=x², но и функций y=x²+1, y=x²+7, y=x²+15 — в общем, всех функций вида y=x²+C Здесь C — константа, то есть постоянная величина, и ее производная равна нулю.

Аналогично, функция y=cosx — производная для всех функций вида y=sinx + C, где C — константа.

Посмотрите на таблицу первообразных (c.294 учебника). Каждая функция в левом столбце таблицы является производной для функции в правом столбце.

Полезно помнить:

• Первообразная суммы функций равна сумме их первообразных.

• Первообразная разности функций — разности первообразных.

• Первообразная от функции y=kf(x), где k — постоянный множитель, равна произведению k на первообразную функции f(x), то есть kF(x) .

Множество всех первообразных функции называется неопределенным интегралом данной функции.

Нахождение первообразной называется также интегрированием функции. А нахождение производной — дифференцированием функции. Интегрирование (то есть нахождение первообразной) и дифференцирование (взятие производной) — взаимно-обратные действия.

Но интегралы — это отдельная тема. В задачах ЕГЭ по математике неопределенные интегралы не встречаются, а теме «Первообразная» посвящено всего несколько задач в профильном экзамене. Для их решения надо знать (уметь пользоваться) таблицу первообразных.

Таблица первообразных:

Задание.

3. Прочитать параграф 54 -55 учебника (с.291-295)