До сих пор мы измеряли углы только в градусах. Оказывается, есть и другая система измерения углов – радианы.
По определению, 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу. Вот он, на рисунке.
Вспомним, что полный круг – это 360 градусов. Длина окружности равна 2πr. Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как 360°- к величине угла, опирающегося на дугу на рисунке, то есть к углу в 1 радиан.
360° - 2πr
1 радиан - r
Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полного круга и длина дуги на нашем рисунке.
Из этой пропорции получаем, что 360° = 2π радиан. Значит, полный круг – это 2π радиан. Тогда полкруга – это π радиан, четверть круга (то есть 90°) – это π/2 радиан.
Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот,
Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусов.
Тригонометрический круг - самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он красив, легко запоминается, и на нём есть всё необходимое. Тригонометрический круг заменит вам десяток таблиц.
Нарисуем единичную окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями OX и OY, в которой мы привыкли рисовать графики функций.
Договоримся отсчитывать углы от положительного направления оси ОХ против часовой стрелки.
Мы помним, что полный круг — это 360 градусов. Тогда точка с координатами (1;0) соответствует углу в 0 градусов. Точка с координатами (-1; 0) отвечает углу в 180 градусов, точка с координатами (0;1) — углу в 90 градусов. Каждому углу от нуля до 360 градусов соответствует точка на единичной окружности. Обратите внимание,что на нашем тригонометрическом круге углы отмечены и в градусах, и в радианах.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (х), синус — ордината(y). Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от -1 до 1:
Рассмотрим прямоугольный треугольник на рисунке. Применим к нему теорему Пифагора и получим основное тригонометрическое тождество:
Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по х (это косинус угла) и по y (это синус угла).
Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол -30° — это угол величиной в 30°, который отложили от положительного направления оси х по часовой стрелке.
Легко заметить, что
Углы могут быть и больше 360 градусов. Например, угол 732° — это два полных оборота по часовой стрелке и еще 12° . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы вернемся в ту же точку с теми же координатами по х и по y, то значения синуса и косинуса повторяются через 360° . То есть:
То же самое можно записать в радианах:
Мы только что записали еще одно ценное свойство синуса и косинуса – периодичность. Это значит, что синус и косинус все свои значения повторяют через целое число кругов. Например, вам надо вычислить sin945° . Поскольку 945 = 360*2 + 225,
то sin945°= sin(360°+225°) = sin225° = -√2 /2
Мы просто отбросили два полных круга, а потом на тригонометрическом круге посмотрели, чему равен sin225°.
Иногда вам будут встречаться выражения: угол из первой четверти, из третьей четверти. Вот эти четверти, на рисунке:
Мы ничего не говорили о тангенсе и котангенсе. Можно на том же тригонометрическом круге изобразить еще и оси тангенсов и котангенсов, но тогда рисунок станет сложнее. Проще для каждого угла посчитать значение тангенса, разделив его синус на косинус. Мы ведь помним, что
В результате получим следующую таблицу:
Этот метод заключается в том, чтобы взять левую руку.
А точнее ладонь. Затем растопырить пальцы так, чтобы между мизинцем и большим пальцами образовался угол 90°. Тогда безымянный палец будет показывать 30°, средний – 45°, а указательный 60°. Как на рисунке.
Затем нужно пронумеровать эти пальцы в соответствии с рисунком. легко запомнить, что мизинец, который отвечает за угол 0°, становится номером 0, а далее по возрастанию.
Эти номера нужны для того, чтобы подставить их в формулу: sinx =√N /2 , где N – номер пальца.
Получаем значения синусов для углов от 0° до 90°, которые чаще всего используются в школьном курсе.
Еще раз посмотрим на тригонометрический круг. Вот сколько всего мы видим на этом рисунке:
1. Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит 360 градусов, или 2π радиан.
2. Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси X, а значение синуса — на оси Y.
3. И синус, и косинус принимают значения от -1 до 1.
4. Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив sinα на cosα. А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
5. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
6. Косинус – функция четная, синус – нечетная. Вот что это означает:
cos (-α) = cosα ;
sin (-α) = -sin α.
7. Тригонометрический круг помогает нам увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Это значит, что все их значения повторяются через полный круг или целое число кругов. Другими словами, их период равен 360°, то есть 2π.