Формулы приведения
Суть формул приведения заключается в преобразовании тригонометрических функций углов к более «простому» виду. Они позволяют свести задачу вычисления значений тригонометрических функций к вычислению значений для углов x при условии, что x будет находиться в пределах от 0 до п/2. О важности их знания написать можно много. Этих формул тоже много - 32 штуки!
Данные формулы можно также выразить в табличной форме:
Не пугайтесь, учить их не надо. Но необходимо запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет.
Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:
1. Определите знак функции в соответствующей четверти.
Напомню их:
2. При этом перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет приводимая (т.е. исходная) функция в соответствующей четверти, если считать вычитаемый (прибавляемый) угол острым.
3. Функцию косинус называют кофункцией функции синус и наоборот. Аналогично функции тангенс и котангенс являются кофункциями.
Поэтому:
- Если в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 90 градусов или 270 градусов, то приводимая функция меняется на кофункцию;
- Если же в формуле приведения угол вычитается (прибавляется) из 180 градусов или 360 градусов, то название приводимой функции сохраняется.
- Ещё проще - вспомните мнемоническое правило "лошади", о котором я говорила на уроке (если мы откладываем угол от Вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет своё название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс. Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет название).
Вот и всё!
Потренируемся:
Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:
Ещё:
Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов, значит:
Конечно, определить значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.
Посмотрите видеоурок по формулам приведения по ссылке: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/formuly-privedeniya
Рассмотрим примеры применения формул приведения.
Пример 1.
Упростить выражение: sin(x+17π)
Решение. Определим целое число периодов 2π (полных оборотов на единичной окружности), содержащихся в 17π.
17π = 8 * 2π + π
По формулам приведения:
sin(x+17π) = sin(x + 8 * 2π + π) = sin(x + π) = - sin x ( « - « т. к. находимся в 3-ей четверти)
Пример 2.
Вычислить: tg(-8π/3)
Решение. Угол -8π/3 лежит в промежутке от -3π до -2π. Поэтому можно сделать следующие преобразования:
tg(-8π/3)= tg(-8π/3+ 3π)= tg(π/3)= √3
Пример 3.
Найти: cos (π-α), если cos(π/2-α) = b и α∈(π; 3π/2).
Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α и cos(π/2 – α) = sin α
Ввиду основного тригонометрического тождества cos2α = 1 – sin2α = 1 – b2
При извлечении квадратного корня надо учесть, что α∈(π; 3π/2) (третья четверть). В таком случае будет выполнено неравенство cosα<0.
Тогда cosα= -√(1-b22 ), и -cosα= √(1-b22 )
Ответ: √(1-b22 )
Пример 4.
Упростите выражение: sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α)
Решение. По формулам приведения : cos(π-α) = - cos α; sin(π/2 – α) = cos α; cos(3π/2 + α) = sin α; sin(2π – α) = -sin α
Получаем sin(π/2-α)cos (π-α)+cos (3π/2+α)sin (2π-α) = cos α *(-cos α) + sin α * (-sin α) = - cos2α - sin2α = - (cos2α + sin2α) = - 1
Пример 5.
Вычислить: sin(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°)
Решение. В каждой тригонометрической функции исключим периоды
sin(-7π/3) = - sin(2π+ π/3) = - sin π/3 = - √3/2
cos(- 19π/6) = cos(2π+π+ π/6) = cos(π+π/6) = - cos π/6 = - √3/2
tg390°=tg(2*180°+30°)= tg30°= √3/3
ctg(-300°)= -ctg(180°+90°+30°)= -ctg(90°+30°)= tg30°= √3/3
Таким образом, имеем: sin(-7π/3)cos(-19π/6)tg390°ctg(-300°) = ((-√3)*(-√3)*√3*√3)/(2*2*3*3) = 1/4 = 0,25