1. (ЕГЭ-2021) Решите уравнение: √2𝑥+3=𝑥. Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
2. Решите уравнение: √72−𝑥 =𝑥 Если корней окажется несколько, то в ответ запишите наименьший из них.
3. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: 𝑇(𝑡)=𝑇0+𝑏𝑡+𝑎𝑡2, где t — время (в мин.), T0 = 680 К, а = −16 К/мин2, b = 224 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
4. При температуре 0∘𝐶 рельс имеет длину 𝑙0=10 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 𝑙(𝑡∘)=𝑙0(1+𝛼⋅𝑡∘), где 𝛼=1,2⋅10−5( ∘𝐶 )−1 — коэффициент теплового расширения, 𝑡∘ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
5. (ЕГЭ-2021) Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
6. Моторная лодка прошла против течения реки 135 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 12 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
7. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
8. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 192 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 4 часа после этого следом за ним со скоростью на 4 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
9. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 46 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 5 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 60 минут? Ответ дайте в км/ч.
10. (ЕГЭ-2021) Весной катер идёт против течения реки в 5/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 3/2 раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).
11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 7, ВС = 24. Найдите sin A.
12. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶=4,8, sin𝐴=7/25. Найдите 𝐴𝐵.
13. В треугольнике АВС угол С равен 90°, 𝐵𝐶=5, sin𝐴=7/25. Найдите высоту СН.
14. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, BC = 25, BH = 20. Найдите cos𝐴.
15. ЕГЭ-2021. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в см.
16. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?
17. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
18. Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1:2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?
19. Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
20. № 17 ЕГЭ-2020 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400 000 рублей.
Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Найдите r, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 330 000 рублей, а во второй год - 121 000 рублей.
21. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 550 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?
22. (№ 19 ЕГЭ-2020, резервный день) По кругу стоят несколько детей, среди которых есть хотя бы два мальчика и хотя бы две девочки. У каждого из детей есть натуральное число конфет. У любых двух мальчиков одинаковое число конфет, а у любых двух девочек – разное. По команде каждый отдал соседу справа четверть своих конфет. После этого у любых двух девочек оказалось одинаковое число конфет, а у любых двух мальчиков – разное. Известно, что каждый из детей отдал натуральное число конфет.
а) Может ли мальчиков быть ровно столько же, сколько девочек?
б) Может ли мальчиков быть больше, чем девочек?
в) Пусть девочек вдвое больше, чем мальчиков. Может ли у всех детей суммарно быть 328 конфет?