23. Le plus grand diviseur commun

Source: openmiddle.com

Solution:

• Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) entre 2 nombres à 2 chiffres devrait être un nombre à 2 chiffres. Par exemple, le PGCD entre 12 et 36 est 12.

• Pour que les nombres soient maximaux, il faudrait que l'un des 2 nombres soit le PGCD des deux. Donc un nombre devrait être un multiple de l'autre nombre.

• 50 x 2 = 100. Le PGCD entre 2 nombres à 2 chiffres ne peut pas être 50 ou plus, vu qu'alors le double serait 100 ou plus, et il faut uniquement des nombres à 2 chiffres.

• Commençons par le plus grand nombre possible à 2 chiffres, et essayons au cas par cas:

  • 49 x 2 = 98 ce qui ne va pas car le 9 est répété. 49 x 3 = 147, un nombre à 3 chiffres. Donc 49 ne va pas.

  • 48 x 2 = 96 oui cette solution marche.

• Les 2 nombres sont donc 48 et 96, et le PGCD est 48.

Plus difficile:

• Ici aussi, il faudrait idéalement que le nombre à 2 chiffres soit le PGCD des 2, donc que le nombre à 3 chiffres soit un multiple du nombre à 2 chiffres.

• Avec la même démarche, commençons par le plus grand nombre possible à 2 chiffres:

  • 99 - non car ça répète déjà des chiffres.

  • 98 x 2 = 196 non, 98 x 3 = 294 non, 98 x 4 = 392 non, etc - on remarque qu'aucun multiple à 3 chiffres de 98 n'a pas de 8 ni de 9.

  • 97 x 2 = 194 non, 97 x 3= 291 non, 97 x 4 = 388, 97 x 5 = 485 OUI!!!

  • Mais est-ce la seule solution possible? En continuant la table de 97, on remarque qu'une autre solution est possible aussi: 97 x 6 = 582. Il n'y en a pas d'autres sans répétition des chiffres.

• Les 2 solutions sont donc 97 et 485, et 97 et 582. Le PGCD de tous ces nombres est 97.