5. Combien de nombres avec 1,2,3,4?

Source: maths-et-tiques.fr

Solution:

• Tous les nombres entiers inférieurs à 10000 ont 4 chiffres ou moins (le plus grand nombre plus petit que 10000 étant 9999)

• L'énoncé ne dit pas si on peut répéter des chiffres (comme pour les nombres 111 ou 2243, par exemple) ou pas, alors étudions ces cas séparément.

Cas 1: On peut répéter les chiffres

• Il y a 4 nombres à 1 chiffre: 1, 2, 3, 4

• Il y a 16 nombres à 2 chiffres: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. On remarque que pour chacun des 4 chiffres des dizaines, on peut ajouter les mêmes 4 chiffres des unités. Donc, on peut directement calculer qu'on a 4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 2 chiffres.

• Avec le même raisonnement, pour chacun des 4 chiffres des centaines, on a 16 (ou 4x4) combinaisons de dizaines/unités possibles. Donc on a 4x4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 3 chiffres.

• Pareillement, on a 4x4x4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 4 chiffres.

• Au total donc, on a 4 + 16 + 64 + 256 = 340 nombres possibles.

Cas 2: On ne peut répéter les chiffres

• Il y a toujours 4 nombres à 1 chiffre: 1, 2, 3, 4

• Il y a 12 nombres à 2 chiffres: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. On remarque que pour chacun des 4 chiffres des dizaines, on peut ajouter seulement un des 3 chiffres restants pour l'unité. Donc, on peut calculer qu'on a 4x3 combinaisons possibles pour des nombres à 2 chiffres, sans répéter de chiffre.

• Avec le même raisonnement, pour chacun des 4 chiffres des centaines, il y a 3 chiffres des dizaines possibles, et ensuite il ne reste plus que 2 chiffres possibles pour l'unité. Donc il y a 4x3x2 nombres à 3 chiffres possibles, sans répéter de chiffre.

• De même, si on a déjà 3 chiffres choisis pour les milliers, les centaines et les dizaines, il ne reste plus qu'un seul chiffre pour l'unité. Donc, on a le même nombre à 4 chiffres possibles que de nombres à 3 chiffres, sans répéter de chiffre.

• Au total donc, on a 4 + 12 + 24 + 24 = 64 nombres possibles sans répéter de chiffres.

Autres cas: Il existe d'autres interprétations et extensions possibles, que je vous laisse étudier pour vous amuser.

• L'énoncé ne précise pas qu'il s'agit uniquement de nombres entiers. Combien de nombres à virgules peuvent s'écrire uniquement avec les chiffres 1, 2, 3, 4? Avec ou sans répétition?

• Et si on acceptait des nombres écrits comme des fractions, comme 1/2 ou 2/3 ou 3/4? Combien de fractions inférieurs à 10000 existent en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3, 4? Avec ou sans répétition? Quel nombre serait alors le plus proche de 10000?