5. Combien de nombres avec 1,2,3,4?
Source: maths-et-tiques.fr
Solution:
Tous les nombres entiers inférieurs à 10000 ont 4 chiffres ou moins (le plus grand nombre plus petit que 10000 étant 9999)
L'énoncé ne dit pas si on peut répéter des chiffres (comme pour les nombres 111 ou 2243, par exemple) ou pas, alors étudions ces cas séparément.
Cas 1: On peut répéter les chiffres
Il y a 4 nombres à 1 chiffre: 1, 2, 3, 4
Il y a 16 nombres à 2 chiffres: 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. On remarque que pour chacun des 4 chiffres des dizaines, on peut ajouter les mêmes 4 chiffres des unités. Donc, on peut directement calculer qu'on a 4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 2 chiffres.
Avec le même raisonnement, pour chacun des 4 chiffres des centaines, on a 16 (ou 4x4) combinaisons de dizaines/unités possibles. Donc on a 4x4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 3 chiffres.
Pareillement, on a 4x4x4x4 combinaisons possibles pour des nombres à 4 chiffres.
Au total donc, on a 4 + 16 + 64 + 256 = 340 nombres possibles.
Cas 2: On ne peut répéter les chiffres
Il y a toujours 4 nombres à 1 chiffre: 1, 2, 3, 4
Il y a 12 nombres à 2 chiffres: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. On remarque que pour chacun des 4 chiffres des dizaines, on peut ajouter seulement un des 3 chiffres restants pour l'unité. Donc, on peut calculer qu'on a 4x3 combinaisons possibles pour des nombres à 2 chiffres, sans répéter de chiffre.
Avec le même raisonnement, pour chacun des 4 chiffres des centaines, il y a 3 chiffres des dizaines possibles, et ensuite il ne reste plus que 2 chiffres possibles pour l'unité. Donc il y a 4x3x2 nombres à 3 chiffres possibles, sans répéter de chiffre.
De même, si on a déjà 3 chiffres choisis pour les milliers, les centaines et les dizaines, il ne reste plus qu'un seul chiffre pour l'unité. Donc, on a le même nombre à 4 chiffres possibles que de nombres à 3 chiffres, sans répéter de chiffre.
Au total donc, on a 4 + 12 + 24 + 24 = 64 nombres possibles sans répéter de chiffres.
Autres cas: Il existe d'autres interprétations et extensions possibles, que je vous laisse étudier pour vous amuser.
L'énoncé ne précise pas qu'il s'agit uniquement de nombres entiers. Combien de nombres à virgules peuvent s'écrire uniquement avec les chiffres 1, 2, 3, 4? Avec ou sans répétition?
Et si on acceptait des nombres écrits comme des fractions, comme 1/2 ou 2/3 ou 3/4? Combien de fractions inférieurs à 10000 existent en utilisant uniquement les chiffres 1, 2, 3, 4? Avec ou sans répétition? Quel nombre serait alors le plus proche de 10000?