15. Vendredi 13

Source: nrich.maths.org

Solution: Il y a plusieurs méthodes possibles. Les solutions ci-dessous sont disponibles ici (en anglais).

• Cas par cas: on prend un calendrier et on compte.

  • • On compte le nombre de vendredi 13 lorsque le 1er janvier tombe un lundi si c'est une année normale ET si c'est une année bissextile.

    • On compte le nombre de vendredi 13 lorsque le 1er janvier tombe un mardi si c'est une année normale ET si c'est une année bissextile.

    • On compte ainsi le nombre de vendredi 13 lorsque le 1er janvier tombe un mercredi, jeudi, vendredi, samedi ou dimanche, pour des années normales ET des années bissextiles.

    • Parmi ces 14 cas de figure, on remarque que le minimum est 1 et que le maximum est 3.

    • Donc il y a 3 vendredi 13's possibles en un an, et oui, il y en a chaque année.

• Par le calcul: la fonction modulo

  • • La fonction modulo donne le reste d'une division par un nombre entier. Par exemple, 10 / 2 = 5 reste 0, donc 10 mod 2 = 0. Un autre exemple: 11 / 2 = 5 reste 1, donc 11 mod 2 = 1.

    • Comme on s'intéresse au jour de la semaine (le vendredi) pour un jour donné (le 13) de chaque mois, on va calculer le nombre de jours par mois mod 7:

      • • Janvier: Le 13 tombe un jour de la semaine X.

        • Février: Comme il y a 31 jours en janvier, le 13 tombe un jour de la semaine X + 3, car en janvier il y a 31 jours et 31 mod 7 = 3, ce qui veut dire que le 13 tombe trois jours plus tard dans la semaine qu'en janvier. (Si en janvier, le 13 tombe un lundi, en février le 13 tombera un jeudi, soit 3 jours après le lundi).

        • Mars: Comme il y a 28 (ou 29) jours en mars, le 13 tombe un jour de la semaine X + 3 + 0 = X + 3 (année normale) ou X + 3 + 1 = X + 4 (année bissextile).

        • Avril: Comme il y a 31 jours en mars, le 13 tombe un jour de la semaine X + 3 + 0 + 3 = X + 6 (année normale) ou X + 3 + 1 +3 = X + 7 (année bissextile).

        • Et ainsi de suite, pour chaque mois. Quand on fait ce calcul pour tous les mois, on remarque que:

          • • Sur les 12 mois, le 13 tombe au moins une fois sur chaque jour de la semaine (car il y a au moins un mois pour tous les résultats possibles: X+0, X+1, X+2, X+3, X+4, X+5, X+6). Donc oui, il y a au moins un vendredi 13 chaque année.

            • Le maximum de X+? qu'on trouve en une année (bissextile ou non), c'est 3. (X+3 pour une année normale, ou X+0 pour une année bissextile) Donc le nombre maximum de vendredi 13 qu'il peut y avoir en un an, c'est 3 (lorsque que le 13 janvier tombe un mardi pour une année normale, ou un vendredi pour une année bissextile).