2024 February

Speaker:

谷口 哲至 氏（広島工業大学）

Tetsuji Taniguchi (Hiroshima Institute of Technology)

私が数学に出会ったのは小学生の低学年のころだったでしょうか？一番最初の出会いかどうかはわからないのですが、アッペルとハーケンによる四色定理との出会いは鮮明に記憶があります。父親に「すべての地図は４色もあれば塗れるんだ」と聞き、そんなはずはないと５色以上でしか塗れない地図を求めて、何日も地図を書き続けました。当然のことながら、作成した地図すべて父親に４色以内で塗られてしまいます。その他にも三角形の成立条件などでも、同様の記憶があります。幼い私には、ただ一方的に主張されることが悔しくて、反例を探すことに執着する性質があったようです。
父親は生物学者でしたが、そうした科学の問題をよく私に提供して来ました。私は幼かったこともあり、天邪鬼というか、「主張」を真っ向から否定して反例に立ち向かう性質だったようです。その後も日常に存在する、あらゆる世界のあらゆる現象に興味を持ち、調べ、同様の抵抗を繰り返し、玉砕することを繰り返していたように思います。幼少期、少年期の記憶を遡ってみると、そのころから「命題」の（理解はしていないものの）本質には触れていたようです。
中学生の頃、人と力を合わせて協力して何かを成し遂げるということが苦手で、協調性を見いだせていない自分に悩んでいました。やってはいけないと言われたことはやってみないと気がすまない性格が災いすること多々。毎日家にもおらず、夜の街を徘徊し、自らの将来について思考を巡らせていました。一方で、自然、スポーツ、産業など、あらゆる場面で「現象」が数式を用いて記述されていることを自然と知ることになります。それなら「数学」を学べば、この世の中を知ることが出来るだろうと思い、数学の道を歩くことを決意しました。両親は生物学者ではありますが、彼らが学術界で生きていたことから、私が数学界に居場所を求めるのは必然であったようにも思います。

I guess I first encountered mathematics when I was in the lower grades of elementary school. I don't know if it was my first encounter, but I have a vivid memory of my encounter with Appel and Haken's four-color theorem. When I heard from my father that all maps can be colored with four colors, I continued to draw maps for days, thinking that this was not possible, and searching for a map that could only be colored with five or more colors. Of course, all the maps I created were colored by my father in four colors or less. I have similar memories about other problems such as conditions for triangle formation. It seems that when I was young, I felt frustrated by a one-sided argument, and I had a tendency to obsess over finding counterexamples.
My father was a biologist, and he often asked me questions about science. Partly because I was young, it seems like I was a bit of an evil person, or rather, I had the tendency to directly deny the "claims" and confront counterexamples. After that, I think I continued to be interested in all kinds of phenomena that exist in everyday life in the world, researching them, repeating similar resistances, and repeatedly failing. Looking back at my childhood and boyhood memories, it seems that I had been in touch with the essence of "propositions" (although I did not understand them) from around that time.
When I was a junior high school student, I struggled with my ability to work together with others to achieve something, and I was worried about my lack of cooperation. The tendency to not feel satisfied unless I try something I am told not to do often led me to misfortune. Every day I was away from home, wandering around the city at night, thinking about my own future. On the other hand, I naturally learnt that "phenomena" are described using mathematical formulas in all kinds of situations, such as nature, sports, and industry. I thought that if I studied mathematics, I would be able to understand more about this world, so I decided to pursue a career in mathematics. My parents are biologists, and since they lived in academia, I think it was inevitable that I would seek a career in mathematics.
(Translated by the organizers)

Title (first part):

ホフマングラフ

Hoffman Graph

※講演は日本語で行われます。英語のスライドが提供されます。
* The talk will be in Japanese; English slides will be provided.

Abstract (first part):

ライングラフやグラフの最小固有値の研究（〜1980年頃）において、A.J.Hoffman氏, D.Cvetkovic氏, P.Rowlinson氏, S.Simic氏達の研究がよく知られている。ライングラフの最小固有値は -2 以上であることが容易に確かめられる中で、-2 以上の最小固有値を持つグラフの分類や特徴付けが行われてきた。その後、一般化などあるものの、大きな変化についてあまり目にすることはなかったが、Hoffman氏 がグラフの最小固有値に関する極限構造を導入し、さらに R.Woo氏 と A.Neumaier氏 らが Hoffman Graph を導入した。これは、ライングラフの単純な構成法を高度に一般化したもので、最小固有値の階層を降りることが出来る有用な構造である。私はこのことについて研究テーマとして過ごして来た。

一方で、Hoffman Graph を主体的に研究しているのは、世の中に私と J.Koolen氏しかいない。まだやれることは多いようにも見えるのだが、コンセプトを理解することに時間もかかるし、それに時間をさくことが若手研究者にとって良いことなのかというと、（一緒にやれたらなと思うものの）そうではないと思う。しっかり定番の数学の基礎力を磨くことが大事で、この領域に誘い込むことには躊躇する。この領域は難しいと言われ、結局一緒に研究を続けられる関係にいるのが、未だに数学の師匠である宗政氏と研究仲間の Koolen氏しかいないのが現状である。

本講演ではホフマングラフのコンセプトやこれまでの研究成果などを話します。

The research of A.J. Hoffman, D. Cvetkovic, P. Rowlinson, and S. Simic is well known for research on the minimum eigenvalue of line graphs and graphs (~1980s). Since it is easily confirmed that the minimum eigenvalue of a line graph is -2 or more, graphs with a minimum eigenvalue of -2 or more have been classified and characterized. After that, although there were some generalizations, we did not see many major changes, until Hoffman introduced the limit structure for the minimum eigenvalue of a graph, and R. Woo, A. Neumaier et al. introduced the Hoffman Graph. This is a highly generalized version of the simple construction of line graphs, and is a useful structure that allows us to descend the hierarchy of minimum eigenvalues. I have been studying this as a research topic.
On the other hand, Prof. J. Koolen and I are the only people in the world who are actively researching the Hoffman Graph. It seems like there is still a lot that can be done, but it takes time to understand the concept, and I wonder if it would be good for young researchers to spend time on that - actually, I don't think so (though I wish we could work on it together). It is important to polish the basic skills of basic mathematics, and I hesitate to invite students into this field. This field is said to be difficult, and at present the only people I can continue research with are my mathematics mentor, Prof. Munemasa, and research colleague Prof. Koolen.
In this lecture, I will discuss the concept of the Hoffman graph and the research results to date.
(Translated by the organizers)

Title (second part):

数学界の孤立集落とその住人の生き方と生きる力

Isolated settlements in the mathematical world and their inhabitants' way of life and zest for living

Abstract (second part):

数学の分野によって、新しいことに首を突っ込み成果が出ると、徐々に独自性が高まっていくのかなと思います。その作業は職を得てから行うには大変な労力を伴うことになりますが、一数学者としてはとても楽しい研究生活が送れることでしょう。数学者として成長していくなかで、そんなプロセスを楽しんでいる自分がいます。しかし、若い頃はそんな気分ではいられませんでした。

学生のころ、グラフの固有値に興味をもち、研究テーマとしました。この領域に関連することとして、代数的組合せ論という領域に目を奪われ、キーワードに惹かれるまま九州大学の坂内グループの道場の門をたたきました（大学院進学）。学部生時代はスポーツに明け暮れており、大して数学の基礎力もないままに入門することになるのですが、当然基礎力のなさを補うための特訓が続きます。そんな中で将来の研究テーマとなる「ホフマングラフ」に出会うこととなります。あるとき、国際会議参加を繰り返す中で、この分野を学生のテーマにしようとして、私の論文を読んだといってくれる研究者がおられました。しかし、難しくてとてもテーマに出来ないと判断し、断念したと。特に障壁になるものではないと思っていたが、（講演で話しますが）このテーマには入門者の手を止める重大な欠陥があったのです。直接共同研究を行った Koolen氏は障壁はなかったのでしょう。

また、若かりし研究者で未熟であった私は代数的組合せ論の他の領域との共通点が見いだせず、数学の世界で孤立していることに気づきました。近い所にも（同分野という意味での）居場所がありませんでした。そんな中でまだホフマングラフの本質的な理解に到達していなかった私は苦戦します。科研費の取得、就職など、当時の私は恨み節ばかりでした。共通の言葉を持つ研究仲間が、海外にいる Koolen氏以外いないのでどうにもならない気分でした。研究成果を出せば出すほど、孤立感が増します。苦戦している状況では「研究の独自性」という言葉に喜んでもいられなかったです。当時どういう気持でいたのか？どうやってこの問題から脱却したのか？このことについてお話します。

I think that depending on the field of mathematics, if you put your head into new things and produce results, your uniqueness will gradually increase. Although it will take a lot of effort to do this work after getting a job, as a mathematician you will have a very enjoyable research life. As I grow as a mathematician, I find myself enjoying this process. But when I was younger, I didn't feel like that.
When I was a student, I became interested in the eigenvalues of graphs and made this my research topic. I was captivated by the related field of algebraic combinatorics, and simply following the keywords, I knocked on the door of the Bannai group's lab at Kyushu University (going on to graduate school). During my undergraduate years, I devoted most of my time to sports, so I entered the school without much basic knowledge of mathematics, so naturally intensive training followed to compensate for my lack of basic knowledge. During this time, I came across the "Hoffman graph", which would become my future research topic. One day, at one of the many international conferences that I attended, a researcher told me that he had read my paper in order to make this field a topic for students. However, he decided that it was too difficult to make into a theme, so he gave up on it. I didn't think it would be a particular barrier, but (as I'll talk about in my lecture) there was a serious flaw in this topic that prevented beginners from delving into it. My collaborator Prof. Koolen probably faced no barriers.
Also, as a young and inexperienced researcher, I could not find commonalities with other areas of algebraic combinatorics, and I realized that I was isolated in the world of mathematics. There was no place nearby (meaning in the same field) for me. Under such circumstances, I had a difficult time because I had not yet reached the essential understanding of the Hoffman graph. At that time, I was full of grudges about obtaining grants for scientific research and getting a job. I felt helpless because I had no fellow researchers who shared the same language with me except for Prof. Koolen, who live overseas. The more research results I produce, the more I feel isolated. In a situation where I was struggling, I couldn't be happy about the words "uniqueness of my research." How did I feel at the time? How did I get out of this problem? I am going to talk about this.
(Translated by the organizers)

Discussion Theme (second part):

研究テーマが世界に私一人だけ。私が数学者生活を他の華やかな分野と同様の気分で過ごすためにどんな工夫をしますか？(あるいはそんな研究者がいたらどうサポートしますか？)

Feedback from participants:

• 自ら仲間を募り，勉強会や研究会を行う，これは若手が学ぶ重要なことのひとつです．ためらわず積極的にしてほしいと思いました．シニアの協力や資金援助を頼むことも躊躇する必要はないと思います．

• ブレイクアウトルームでの議論の中で、「数学通信」内の修士・博士論文の情報は、新たな繋がりの創出を目的にしていたという事を教わりました。今後、若い人に会う時にはこの事を伝えていければと思います。また、自身も自身の専門分野の人口が日本では少ない為、谷口先生の「研究会などを積極的に開いていくなどして自分から動きを作っていく」という考えはとても参考になりました。

• 数学研究で孤独をとても深く感じられていたことに、深く感じさせられました

• 幾何系の研究をしているもので、いままで人がやらないことばかりに携わってきた中で考え、少しブレイクアウトルームにて発言したことです。本来重要なはず」も、流行に流されるほかまた「今回の第一部ご講演でも話題になりましたような難しさ」から誰も関わらなくなり忘れられ受け継がれなくなる領域というのもあるようで、とても残念なことと思います(そういうのは本来誰かにやられるべきです)。 あとは、孤立集落の研究者をどう助けるかについてです。理想は「とにもかくにも一番重要なのは自分の実力資質を高め誰もが盾突けないような誰もが認めるようなところまでもっていく」と考えます。しかしこれはある意味「根性論」に近い部分もあり難しいです。かくいう自分は、この種の根性論的考え、大事と分かりながらなかなかついていけない部分あり、それでも自分の、【自分ならば】できることは何か考え行動し、多くある弱いところは不器用なりに改めやってきたつもりです笑。もちろん頑張ることは重要ですが、体や心を壊したりするのがいちばんいけないことで、「無理はしてはならない、楽をする、時に楽しむ。」、そして可能ならば「人を頼る。」それは忘れてはならないと考えます。

• 孤独感を持っているのは自分だけではないということがわかり，あえて孤独感を持つような環境に身をおくことを選んでいる自分のことを責めなくてもいいことがわかって，気が楽になりました．また，孤独感を持ちつつも，わかってくれる誰かを探すことを諦めなくてもよいことも励みになりました．