Y aquí nuestro mentor con los ojos vendados: Isaac Newton y las fórmulas que usaremos en este apartado.

De modo que:

t = Tensión o carga

Mf = Momento de la Fuerza

C = Distancia desde el eje neutro al extremo

I= Inercia de la sección geométrica (inercia polar o segundo momento de Inercia)

Y= Módulo de Young

a = radio de la circunferencia formada

La pregunta es que puede tener que ver la Inercia con la Aeronáutica, seguramente a cualquiera con un poco de sentido común se le ocurriría pensar que, aún no estar seguro, debe haber una relación. O muchas.

El motivo de esta entrada fue originalmente la consulta que un colega me hizo respecto de una afirmación mía:

Yo había expresado que pude haber cometido un error al construir mi butaca en tubos redondos, ya que de hacerlo con tubos cuadrados, el resultado hubiera sido una mayor resistencia a la flexión, lo que implica que ante la acción de una fuerza determinada, en un punto determinado, el tubo redondo se iba a flexionar más que el tubo cuadrado. Cuando necesitamos que algo no se flexione, esto es un problema.

Para despejar dudas, voy a agregar que ambos tubos poseen aproximadamente la misma sección y son del mismo material (en el caso de la butaca, este material era aluminio) lo único distinto entre ambos es que uno es un tubo cuadrado y el otro es un tubo redondo.

De las fórmulas de la imagen de la portada vamos a definir estas variables:

• Inercia

• Módulo de Young (o módulo de elasticidad)

• Momento de una fuerza

Los restantes son conceptos menores que se explican con más facilidad.

Principio de inercia

Podemos definir a grandes rasgos que la Inercia de un cuerpo es la resistencia que éste opone a ser girado o curvado.

Por ende si yo afirmara que un tubo de sección rectangular posee mas inercia que un tubo de sección redonda, se puede concluir que el tubo de sección cuadrada presenta una mayor resistencia a ser curvado. Lo que implica que su flexión será menor.

Es necesario que olviden el viejo y erróneo concepto de que algo que tiene inercia es algo "difícil de detener"... por ejemplo un camión en movimiento que intenta ser frenado. Como expresé arriba, la inercia tiene que ver con movimientos circulares. No rectilíneos.

Un camión que intenta ser frenado no "trae inercia" en todo caso trae "cantidad de movimiento" cuya fórmula física incluye las variables de masa, velocidad e Impulso. Esto no nos importa ahora. Es solo para clarificar el verdadero significado de lo que es la Inercia.

Voy a realizar un dibujo donde podamos ver de que se trata todo esto y, lo que es mas importante, su relación con la construcción aeronáutica.

Miren que me he esforzado en el dibujito eh? ¡Así que lean!

Si miran en el extremo derecho de la imagen, están graficados en líneas verdes los ejes "x" "y" "z" que atraviesan el plano geométrico de una viga, supongamos, de madera. Este plano está pintado de amarillo. Representa un rectángulo. Entiendanlo como una figura geométrica en 2D

Estamos hablando en este caso de lo que se llama "inercia polar" la cual se aplica a planos geométricos.

En el gráfica hay una viga de madera rectangular apoyada en sus dos extremos. Se puede ver que al aplicar una fuerza "F" (roja) sobre el centro de la viga (podría ser cualquier otro punto) el extremo de ella, donde se encuentra el plano amarillo, tiende a girar en el Eje "Z". Imagínenlo...

Cuanto más se flexione la viga, más girará el extremo (ese plano rectangular en 2D) sobre el eje "Z"

Además podemos apreciar otras cosas que vamos a mencionar: Cada vez que se produce una flexión sobre un cuerpo, tendremos compresión y tracción como ya se ha comentado en la entrada de "Aceros 3º parte"

• En el extremo superior de la viga se produce una compresión, dado que las partículas (puntos de marrón oscuro) tienden a juntarse entre sí.

• En el extremo inferior se produce una Tracción dado que las partículas tienden a separarse.

• Existe un eje central, una línea imaginaria verde punteada (Eje "X") que atraviesa a la viga longitudinalmente. Cuando la viga es flexionada, este eje, al ser una línea imaginaria, también flexiona ya que siempre atraviesa el cuerpo por su centro exacto (línea azul)

Las partículas que se encuentran en el eje central no sufren esfuerzos, ni ha compresión ni a tracción. Pero a medida que nos vamos alejando del centro a los extremos arriba o abajo, los esfuerzos se van incrementando hasta ser máximos en las caras superiores e inferiores.

Pude haber dibujado una viga metálica, donde la resistencia a tracción/compresión del acero posee el mismo valor. Pero me interesó la madera por que tiene la particularidad (para todos aquellos que construyen fuselajes en madera) que su resistencia a tracción tiene un valor bien distinto que su resistencia a compresión. Solo a modo de anécdota, es muy importante saber las cargas producidas sobre la madera y saber si sufrirá esfuerzo a tracción, compresión o flexión (combinación de ambas) para poder calcular su sección adecuadamente tal que no se quiebre por las cargas producidas.

Por tanto es dable suponer que si voy a armar un larguero de madera, donde se que en el mismo se producirán momentos flectores, pues deberé trabajar con su menor resistencia, que en general es a tracción...esto va solo a modo anecdótico.

Modulo de Young

Otro concepto necesario a conocer para poder completar los datos de las fórmulas a aplicar es el módulo de Young o módulo de elasticidad.

Lo que no tiene nada que ver con la resistencia a tracción/compresión y que muchas veces se suele confundir

Veamos nuevamente un gráfico parta entender de qué se trata:

Para no ser reiterativo, tengo nuevamente que enviarlos a la entrada de "Aceros 3º parte" donde expuse un gráfico similar explicando las cargas de tracción, compresión, etc. Por tanto solo voy a agregar lo que faltó decir:

La pendiente de la recta (en general se habla de "curva", pero si yo digo "pendiente" de una curva, los hortodoxos de las matemáticas me van a fusilar y con justa razón) representa el Módulo de Young. Es ni más ni menos que la relación que existe entre la carga aplicada y la deformación de la pieza, consecuencia de esa carga.

Si se observa la ecuación en verde, se aprecia que el Modulo de Young es la carga graficada en el eje "Y" sobre la deformación o "alargamiento" representada en el eje "x"

El módulo de Young es otro valor de tensión ya que la deformación o alargamiento no tiene unidad, veamos como se calcula el alargamiento que sufre una pieza que se está estirando por acción de una fuerza:

Ahora, si yo quisiera ejemplificar esto, podría hacer un cálculo bien fácil suponiendo que tengo una pieza de aluminio el cual conozco por tablas el valor de su tensión, siendo esta de 70N/mm2 o lo que es lo mismo a 70 megapascales. Lo someto a cargas desde los extremos para traccionarlo y observo que su alargamiento es igual a 0,001, calculo entonces el Módulo de Young:

Como dije antes, el Módulo de Young da una idea de la ductilidad del material. Ya que representa la pendiente de la recta.

Una recta más "acostada", posee menor pendiente y me habla de un material más dúctil.

Una recta más "verticalizada", posee mayor pendiente y me habla de un material menos dúctil.

Por ello el Módulo de Young del aluminio es 70.000 Mpa (poca pendiente) y el del acero es 210.000 Mpa. (tres veces más pendiente).

Lo podemos graficar de este modo:

Por supuesto todos estos fenómenos se dan en la parte elástica de los materiales, donde podemos decir que se comportan como un resorte respondiendo a las leyes de Hooke. Una vez pasado el límite de carga, la pieza se deforma entrando a su parte plástica donde ya no puede retomar a su tamaño y/o estado original.

Momento de la Fuerza

Vamos entonces a estudiar el último concepto para entrar en la fórmula y poder demostrar porqué un tubo cuadrado flexiona menos que uno redondo de igual sección e igual material.

Básica y escuetamente puedo decir que el momento de una fuerza es el producto de la fuerza aplicada por la distancia al punto desde donde se mide el momento.

Por ejemplo:

Si tengo que desajustar una tuerca que se encuentra muy apretada y utilizo una pinza corta, voy a tener que realizar mucha fuerza para lograr hacerla girar. El momento producido, producto de la fuerza que hago por la longitud que va desde la mano hasta el punto donde agarra la tuerca, tiene un valor bajo.

Si lo intento con una pinza más larga, el momento producido es mayor para la misma fuerza aplicada ya que la distancia desde la mano al punto de agarre es mayor.

Cualquiera sabe que si hay algo ajustado, es preferible utilizar herramientas mas bien largas. Para la máxima fuerza que yo aplique, el momento es mayor cuanto mayor sea la distancia. Veamos otra vez con un gráfico representativo:

De este modo se puede aseverar que en general, lo que vamos a considerar a la hora de analizar cargas, son momentos de una fuerza, ya que para un punto determinado de estudio siempre habrán un conjunto de fuerzas actuantes a diversas distancias de ese punto en cuestión. Como aclaración se puede agregar que justo en este ejemplo, estamos viendo un "momento torsor" pero eso no importa...

El problema, más que calcularlas, es SABER cuáles son esas fuerzas y dónde actúan, ya que un mal planteo del problema lleva por supuesto a conclusiones completamente erradas.

Volviendo a los momentos, la unidad estándar es el Kgm (Kilográmetro fuerza) producto de una unidad de fuerza por una unidad de distancia o el Nm (Newton metro). Aunque yo puedo utilizar también el Nmm (Neuton milímetro).

Ahora, volviendo al tema de la viga del inicio sometida a flexión por la acción de una fuerza (pero esta vez, cambiamos madera por acero) tenemos momentos producidos en los extremos, allí donde el plano rectangular gira. El hecho de girar, produce un momento.

Entonces, si vemos la segunda ecuación de la portada de esta entrada, podemos darnos cuenta a qué se refiere la variable "radio de la circunferencia formada". Ya que la línea verde "a" es ese radio, siendo la línea curva celeste "eje neutro" una porción o dicho más técnicamente es un "arco de circunferencia".

Imaginemos esto; Estamos curvando una barra o una viga y entonces, una vez curvada, representa un arco de circunferencia. Si yo pudiera extenderla se encontraría así misma en el otro extremo formando un círculo.

En la primera ecuación, la variable "c" denominada "Distancia desde el eje neutro al extremo" es justamente la distancia que existe entre el eje neutro y la punta del cuerpo hacia arriba y hacia abajo, preferentemente en milímetros.

Ahora, con todos los conceptos explicados. ¿Porque no vemos un ejemplo práctico para aplicar lo visto?

Debajo de la imagen escribí la ecuación para determinar el Momento de la fuerza aplicada, siendo igual a la carga por la distancia al extremo. El resultado se expresa en kilográmetro. Siempre es importante recordar no omitir las unidades.

Aquí lo más difícil no es la física ni el cálculo matemático. Lo más difícil es conocer en que punto se aplica la fuerza para poder calcular el momento producido.

Aplicamos la ecuación para determinar el largo de la recta verde "a" prestando atención que en el divisor he modificado el valor 7,5 Kgm cambiándolo de unidad a Newton milímetro, obteniendo 73.575 Nmm. Esto por supuesto lo hago para respetar todas las unidades en la ecuación y poder simplificarlas.

"a" es igual a 15,5 metros

Para no hacer esto absolutamente incomprensible dejaremos de lado el cálculo del ángulo formado entre las rectas "a" que delimitan la viga o tubo. Basta con ver gráficamente que cuanto más elevado sea el valor del radio "a" menor será el ángulo formado entre las rectas y por ende menor será la flexión en la barra sometida a esfuerzo. Al punto que si las rectas "a" no se cortan en ningún punto (un catedrático diría que se cortan en el infinito) entonces la viga no flexiona en absoluto.

Por el contrario, cuanto menor sea el radio "a", mayor es el ángulo formado y mayor también será la flexión de la viga.

En este caso, lo que se pretende, es que la viga o tubo flexione lo menos posible.

Ahora bien, según lo calculado arriba para el tubo de nuestro problema, verificamos que con la carga de 15 Kg en el punto medio de ella, el radio "a" es de 15,5 metros. Sin necesidad de dibujar podemos darnos una idea de que la flexión es imperceptible.

DECISIONES AERONÁUTICAS

No se pierdan, hubo que ver todo lo expuesto arriba para poder aterrizar en este título, ahora voy a describir varios ejemplos a los que suelen acudir muchos constructores aeronáuticos y su solución analítica para tomar una decisión correcta.

Dos tubos de distinta geometría y del mismo material

Es bastate difícil dar con un tubo cuadrado que sea exactamente igual a uno redondo. Desde el principio son dos figuras geométricas distintas, pero la premisa fue que mantuvieran prácticamente el mismo valor de sección (o área) tal de mantener el mismo peso y aproximadamente la misma distancia al eje neutro.

Para este caso, incluso, "inventé" un tubo cuadrado que por sus características debería flexionar más que el redondo, ya que comparándolo con éste, su sección es levemente menor, es decir que se trata de un tubo más chico y por ende algo más liviano (ver el recuadros en verde en ambos cuadros) y la distancia al eje neutro del tubo cuadrado también es algo menos (recuadros en rojo).

Para aclarar un poco de qué se trata la imagen presentada, les cuento que todos los datos recuadrados de la figura rectangular surge de una web gratuita en la cual simplemente se selecciona la figura geométrica, se introducen las medidas correspondiente en milímetros, se presiona "calcular" y el programa arrojará todos los valores necesarios. Allí mismo en la imagen se encuentra el nombre del programa para que lo puedan investigar.

Expliquemos las letras del cuadro:

• • "a" es la sección de la figura, es toda aquella área que se representa en línea gruesa azul

  • "Iz" o "Iy" Son los momentos de inercia polar expresados en "mm4" sea del eje "z" o del eje "y" en este caso como la figura es un cuadrado, ambos momentos son iguales, si fuera rectangular, podrán ver que tales momentos son distintos.

Los demás valores, no nos interesan.

Como se puede apreciar el momento de inercia de este tubo cuadrado es de 6291 mm4 para cualquier eje mientras que el momento de inercia del tubo redondo es de 5438 mm4. Sin calcular mucho más y por todo lo visto, podemos determinar que este tubo cuadrado flexionará menos que el redondo. Además de ser un poco mas liviano (posee menor sección).

Pero....¿Posee la misma resistencia estructural a compresión y a tracción? Veamos:

Aplicando la misma ecuación presentada en el inicio, podemos ver que el tubo cuadrado resiste un momento de la fuerza mayor.

Para aclarar los datos presentados arriba: el valor 500 N/mm2 corresponde a la resistencia del material y se extrae de tablas, en este caso se trataba de acero SAE 1020/1030. Como ambos materiales son iguales, entonces la única variable que entra en juego para determinar el momento de la fuerza capaz de soportar para cada caso es la distancia al eje neutro, que para el tubo redondo es de 12,5 mm mientras que para el tubo cuadrado es de 12 mm.

Por tanto el tubo cuadrado flexiona menos y también posee mayor resistencia estructural que el tubo redondo, además, es más liviano.

La pregunta sería ¿Porque entonces no se construyen fuselajes con tubos cuadrados?

1. Porque en un tubo cuadrado las tensiones se concentran en los vértices, cosa que no sucede en un tubo redondo donde las tensiones se distribuyen uniformemente, esto es muy crítico e importante.

2. Por que no se consiguen en el país tubos de acero cuadrados sin costura ni se consiguen de aleaciones SAE 4130 de escaso espesor de pared.

3. Si se construyen algunos fuselajes con tubos cuadrados de aviones experimentales, pero antes de comenzar fabricándolo, conviene contactarse con inspectores de ANAC y pedirles permiso explicando motivos y escuchando sus explicaciones, no va a ser cosa que luego, en la 1ra inspección, nos reboten el proyecto!

Hay gran cantidad de elementos que pueden ser satisfactoriamente construidos en tubos cuadrados para lograr el beneficio que hemos visto....como por ejemplo, los montantes de las alas, posteriormente se deberían "fuselar" (recubriendo el exterior de ellos) para minimizar la resistencia al avance del avión o....¡los tubos de mi butaca!.

Dos tubos de igual geometría y de distinto material

Ahora tenemos dos tubos, uno de acero y otro de aluminio. Al tubo de aluminio le aumentaremos la sección de modo que ambas resistencias sean iguales, el objetivo es respetar siempre las resistencias de diseño.

Pero como el aluminio es más dúctil (posee menor módulo de Young) veremos si ese aumento de sección logra disminuir convenientemente la flexión ante una carga determinada y si en definitiva hay una verdadera ganancia en peso, dado que vamos a aumentar la sección para igualar las resistencias.

Voy a exponer un ejemplo claro, mi propio empenaje fabricado en aluminio:

Yo he suplantado un metro de tubo de acero SAE 1025 de 25 mm de espesor x 1 mm. de pared, por otro tubo de aluminio 6061 T6. El objetivo fue disminuir el peso pero sin perder resistencia estructural.

Lo primero que voy a hacer es "jugar" con la sección del tubo de aluminio aumentándola hasta igualar la resistencia del tubo de acero.

Ahora, analicemos la tabla de excel:

• He respetado la resistencia.

• Pude disminuir el peso en un 40 %, aunque si le sumo el peso de los remaches de acero inoxidable que debo colocar y los pañuelitos de aluminio para las uniones, probablemente este peso disminuya a un 35%, lo que sigue resultando muy interesante.

• Por los momentos de inercia que se pueden observar para ambos materiales, el tubo de aluminio posee un momento mucho mayor por lo que flexionará menos de la mitad (5438 mm4 para el acero y 12287 mm4 para el aluminio)

• Como pueden notar, que un material flexione menos, no implica necesariamente que tenga mayor resistencia a tracción/compresión. Este es el mejor ejemplo de lo contrario.

¿ Como podría ser útil tener "poca flexión" además del beneficio en la disminución del peso?

Por ejemplo para el entelado.

Cuando se coloca la tela, esta quedará tirante. Si el tubo es fino o posee mucha ductilidad, la tela hará que el material se flexione. Si logramos que el tubo tenga la menor flexión posible, la tela no podrá deformarlo (aunque el tubo no entre en su zona plástica de deformación permanente, tampoco se podrá enderezar nunca). Otra buena idea para evitar esta deformación por flexión debido a los esfuerzos de la tela, es curvar los tubos. Un elevador en forma "ovaloide", flexionará menos que si lo construimos con forma de trapecio y no necesitará tantos refuerzos de tubos de compresión transversales. Claro que su construcción es un poco más compleja.

Ahora...¿Qué fue lo que hizo que el tubo de aluminio tuviera esa gran inercia?

Sin mas, lo hizo su gran diámetro y por ende su distancia al eje neutro. Al ser un tubo de casi el doble de diámetro que el tubo de acero, su distancia al eje neutro desde el extremo se ha duplicado.

No cometan el error de sobredimensionar lo que ya está sobredimensionado. Si el diseñador del avión experimental es de fiar, la estructura debería estar sobredimensionada, tampoco por ello deberíamos intercambiar materiales disminuyendo peligrosamente su resistencia.

Si fuera necesario como solución de compromiso, alcanza con disminuirla en no mas de un 20 o 25% y estaremos todavía dentro de los márgenes de un factor de seguridad aceptable.

Si el diseñador no consideró un factor de seguridad y nosotros nos ponemos a modificar materiales de construcción disminuyendo la resistencia.....estamos en riesgo.

Si el avión es experimental, no podremos tener idea de lo que hizo el diseñador, excepto preguntarle.

Dos tubos de igual geometría y distinto espesor de pared

En general, cuando se quiere ganar resistencia en algún punto estratégico, se vale de aumentar el espesor del tubo allí colocado.

Claro ejemplo de esto son los dos tubos inferiores del fuselaje que corren desde la proa a la popa, donde por ejemplo toma el tren de aterrizaje en cada lado.

Si hemos construido la jaula con tubos exteriores de 25 mm de diámetro de pared por 1 mm de espesor, pues los planos allí indicaran seguramente colocar tubos de 25 mm. de diámetro por 1,25 mm de espesor. Con el único fin de sumar resistencia estructural en ese lugar específico.

Pero ¿Es esto del todo correcto? ¿O es una solución de compromiso pudiendo aportar otra solución válida y quizás hasta más beneficiosa?

Veamos las condiciones físicas del tubo de 25 x 1,25:

Lo que nos interesa; La inercia de este tubo es de 6594 mm4.

Vamos a buscar otro tubo que flexione menos, teniendo una mayor inercia, pero sumando además la cuota de realidad: No inventar las medidas del tubo (como hice con el tubo cuadrado que lo usé de ejemplo) sino de encontrar medidas existentes en el mercado.

El desafío se completa y la misión es exitosa si aparte de todo esto, el peso no aumenta.

BUSCANDO REEMPLAZOS

Entonces...¿No es acaso más conveniente aumentar el diámetro del tubo en vez del espesor de la pared?.

Como norma general podemos decir que cada vez que se solicite un tubo de igual diámetro pero de mayor espesor, es preferible aumentar el primero antes que aumentar el segundo. El peso es el mismo y no disminuye la resistencia buscada.

Además tenemos beneficios secundarios:

• Si el tubo no es de la calidad esperada y además es trefilado, evitamos la posible situación de que por consecuencia de una trefiliación de baja calidad, el espesor del tubo sea de 1,25 mm en un extremo y de 1 mm. en el otro. Dado que lo que se busca es un aumento en la resistencia en un determinado sector, no se puede correr ese riesgo.

• Un tubo de mayor diámetro permite una mayor superficie de contacto para los herrajes que haya que soldar en él transversalmente (por ejemplo las tomas del tren de aterrizaje) por ende genera un agarre de mayor resistencia.