16. Propiedades de las desigualdades

Una desigualdad es una expresión algebraica que emplea los símbolos menor que <, mayor que >, menor o igual que. Si usan solamente los primeros dos signos, se dice que es una desigualdad estricta. Las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades:

a) Tricotomía: Si a y b son números cualesquiera, se cumple sólo una de las siguientes relaciones:

Relación     Ejemplo

• a > b Para 9 y 6, se cumple que 9 > 6.

• a > b Si se tiene un número negativo p, siempre es valido que p < 0.

• a = b Para los números 4 y 2, sucede que 4 = 2. En este caso, también pueden usarse los símbolos  de igualdad =.

b) Transitiva: Si a, b y c son números tales que a> b y b>c, se cumple que a>c. Por ejemplo: para 12, 9 y 7, se tiene que 12> 9 y 9>7, entonces 12>7.

c) Aditiva: Si a, b y c  son números tales que a>b, entonces a + c > b + c. Por ejemplo: dados 7, 2 y 12, como 7>2, se tiene que, 7 + 12 > 2 + 12. Esta desigualdad es correcta, pues 7 + 12 = 19 > -2 = 9 -11.

d) Resta: Si a, b y c son números tales que, a> b, entonces a - c > b - c. Por ejemplo: dados 15, 9 y 11, como 15 > 9, se tiene que 15 - 11 > 9 - 11. Esta desigualdad es correcta, pues 15 - 11 = 4 > - 2 = 9 - 11.

e) Multiplicativa: Si a y b son números tales que a > b:

• Si  c es un número positivo, se cumple que a X c > b X c.

• Si c es un número negativo, se invierte el orden de la desigualdad: a X c < b X c.

Ejemplos:

Si se multiplica por 4 la desigualdad 12 > 8: 

12 (4) > 8 (4) = 48 > 32

Si se multiplica por - 4 la desigualdad 12 > 8: 

12 ( -4) > 8 (-4) = -48 < -32

Toma  en cuenta que en las desigualdades no se cumple la propiedad reflexiva, es decir, no se pueden intercambiar los signos.