Задача о гребле и озере

Две лодки отчаливают одновременно от противоположных берегов озера. Лодки плывут по прямой и с постоянной скоростью, разворачиваются мгновенно. Расстояние до берега при первой встрече - N, при второй - M до противоположного берега. Какова ширина озера?

Геометрическое решение.

В момент первой встречи (точка В) пускаем две воображаемые лодки из точки, центрально-симметричной В (точка О). Мнимые лодки движутся с теми же скоростями, что и реальные. Эти призрачные плавсредства одновременно достигают берега, одновременно же достигают точки О, встречаясь вновь. Расстояние до реальных лодок не изменилось, но поскольку направление движения всех четырех - противоположное, то реальные лодки с другой стороны от О. Проще говоря, функция второй встречи от первой - это непрерывное (даже линейное) отображение компакта на себя, а О - неподвижная точка из теоремы Брауэра. Компакт представляет из себя крайнюю часть озера (на рисунке - левую), совпадая с оным в случае равенства скоростей.

Итак, |f(B),f(O)|=|B,O|; с другой стороны, |f(B),f(O)|=|N-M|; следовательно, |f(B),B|=2*|N-M|

• 1. N>M (изменения проводились до ближайшего берега): N+M+2*(N-M)=3*N-M

  2. N<M (изменения проводились до дальних берегов): N+M-2*(M-N)=3*N-M

Алгебраическое решение.

Перед первой встречей лодки вдвоем проплыли все озеро. Ко второй встрече каждая переплыла озеро, плюс - опять же - вдвоем озеро; итого - три озера. Одна из лодок прошла до первой встречи N, т.е. всего, с учетом постоянства скоростей - 3*N. Что на M больше, чем ширина озера. Очевидные замечания: M<1,5*N (ширина озера заведомо больше М). Скорости гребцов различаются не более чем вдвое, иначе медленный гребец не успеет развернуться.