4.2 -  Modelo de Toda

Acabamos de ver, na seção anterior, a extensão de um problema bastante popular: o movimento de um pêndulo, para o qual passamos a considerar o que acontece quando as amplitudes de oscilação são grandes, no chamado regime não linear.

A simulação abaixo mostra o comportamento de um sistema composto por várias massa presas entre si por meio de molas. Nela, as forças usadas foram do mesmo tipo que aquelas vistas anteriormente, ou são molas que satisfazem a lei de Hooke. 

É interessante notar que podemos pensar que cada uma dessas massinhas corresponde a um elemento muito pequeno, como um átomo, e que podemos colocar inúmeras delas interagindo: o resultado obtido é parecido com o de uma corda, como a de um violão. No aplicativo acima podemos colocar no máximo 10 corpos, mas já é suficiente para visualizarmos como seria uma corda com um grande número de componentes vibrando. Tal imagem é interessante por si só, mas agora pretendemos ir além do regime linear.

Sabemos também que as forças restauradoras que atuam num sistema massa-mola não são sempre lineares. Quando distendemos excessivamente uma mola, ela eventualmente se deforma a tal ponto que deixa de haver forças restauradoras atuando sobre a massa. No regime intermediário, antes de estragarmos a mola, a força restauradora deixa de acompanhar linearmente a distensão. Podemos tentar modelar matematicamente o comportamento de  uma mola real, antes de sua inutilização, de maneira similar ao do pêndulo linear. Nesse caso, a formulação que acabamos de ver pode ser uma melhor representação da realidade, mas aprendemos pouca coisa além da seção precedente.

Fermi-Pasta-Ulam modi.caram a rede linear apresentada propondo um termo quadrático à lei de Hooke da seguinte forma:

F = - k Δx - k Δx²

O problema de Fermi-Pasta Ulam foi um dos precursores das simulações computacionais na área da Física e constitui-se de simulações em uma rede de partículas ligadas entre si através de molas que obedecem a Lei de Hooke com uma correção não-linear quadrática. Esperava-se que a deformação linear quebrasse o comportamento ergódico do sistema, mas, surpreendentemente, os estados visitados durante a evolução não eram quaisquer. A distribuição de energia entre os modos apresentava um comportamento aproximadamente periódico, fato atribuído à presença de simetrias escondidas.

Aqui gostaríamos de propor um novo tipo de não linearidade. Pense numa força que, conforme aumentamos a distensão do corpo, aumenta sua intensidade numa taxa cada vez maior. Essa pode parecer uma força muito fictícia e que tem apenas valor pedagógico. No entanto, forças assim existem na natureza. Você talvez já tenha ouvido falar no quarks. Eles são considerados os tijolos que formam, por exemplo, um próton. Acredita-se que um próton seja composto por três quarks distintos, como mostrado na figura abaixo.

 Mas eles nunca foram observados... Ou seja, nunca se conseguiu separar (ou quebrar) um próton em três quarks. Os cientistas concluíram que os quarks devem estar ligados por uma interação similar à de uma corda curta: quando você não tenta separá-los, eles nem sentem a força da corda que os prende; mas logo que você começa a querer distanciá-los a força cresce a tal ponto que você não consegue separá-los. Logo, os quarks estão confinados numa região muito pequena.

Quando as pessoas pensam em coisas que crescem muito rapidamente, em geral elas falam de crescimento exponencial. Isso ocorre porque a função exponencial de fato cresce muito velozmente. Por isso quero propor uma força que cresce exponencialmente.

Uma rede composta de massas e molas que interagem por meio de uma interação exponencial é a chamada rede de Toda.

Abaixo mostramos alguns filminhos em que algumas deformações da rede de Toda propagam-se com velocidade constante e mantendo sua forma, mesmo que haja eventuais colisões. Nessas animações vê-se o que acontece quando puxamos inicialmente as massas de tal modo a dar uma determinada configuração inicial. Escolhemos por conveniência uma configuração inicial de um sóliton. Assim, nota-se que a deformação viaja por toda a rede com velocidade constante mantendo sua forma, como esperado.

Acima mostramos um sóliton numa rede com 15 corpos e abaixo uma com 22 corpos. 

Na seqüência vemos dois sólitons viajando em mesmo sentido em redes com 25 e 30 partículas.

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Referências da página

https://phet.colorado.edu/pt_BR/

http://www.physik.uni-bielefeld.de/~yorks/www/images/inside2.jpg

http://orig15.deviantart.net/6484/f/2011/241/6/3/qed__asymptotic_freedom_by_physicsandmore-d4899cd.png