4.4- Uma derivação para Equação de KdV

Vamos iniciar pela solução mais conhecida para uma onda viajante,

                                                φ(x,t) = Acos(k x + ω t)                                                        (1)

sendo k o número de onda dado por k = 2πσ = 2π λ e ω = 2πf = 2π/T a frequência angular. Lembrando que v = λf, então,

                                                       v = ω k                                                                              (2)

Realizando a derivada parcial de segunda ordem na equação para φ com relação ao tempo e ao espaço, temos

conhecida como equação de onda linear. Ou seja, a equação (1) é na verdade uma das soluções que satisfaz a equação de onda linear. A derivação da equação de onda linear é baseada nas três suposições simplificadoras seguintes,

• Não há dissipação, ou seja, a equação é invariante com a inversão do tempo;

• Não há dispersão, ou seja, a velocidade de grupo, vg = ∂ω/∂k = v = constante.

• A amplitude de oscilação é pequena, e então, os termos não lineares (como φ², por exemplo) são omitidos;

    Com o intuito de modificarmos a relação de dispersão, ω(k) = k v tal que ∂ω/∂k = v,  uma das alterações mais imediatas a se fazer consiste na introdução um termo dispersivo, substituindo-a por,

ω(k) = (k − β k3 + ···)v. 

Considerando que a dispersão introduzida é pequena, podemos manter apenas os dois primeiros termos, e a solução da equação de onda em sua forma complexa pode ser expressa como,

Pode-se então verificar que a equação satisfeita por essa onda tem a seguinte forma,

sendo conveniente notar que essa relação pode ser reescrita na forma da lei de conservação, em termos da equação de continuidade,

onde temos, por comparação,

Por outro lado, a fim de introduzir efeitos de não linearidade, introduzimos em J, acima, um termo quadrático em φ,

De modo que a equação resultante tem a seguinte forma:

Fazendo uma troca de variáveis e simplificando a equação acima obtemos:

Equação conhecida como equação de KdV. Onde a e b representam a não-linearidade e a dispersão respectivamente. A derivação original de Korteweg e de Vries traz esses parâmetros em termos de grandezas físicas como a aceleração da gravidade, a profundidade do canal, etc. Aqui, por simplicidade, manteremos a e b apenas como parâmetros genéricos.

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