4.1 - Pêndulo Não-Linear

Para iniciar uma comparação mais matemática vamos analisar um exemplo mais simples e já apresentando anteriormente: O movimento pendular. 

Aplicando a segunda lei de Newton para o movimento do pêndulo, obtemos a equação diferencial;

A equação acima é claramente não linear porque 

Para simplificar o problema, geralmente colocamos a restrição de que o deslocamento do pêndulo deve ser pequeno e aproximamos,

 Assim, obtemos uma equação linear e a frequência é constante dependendo apenas de,

Mas, o que acontece se sairmos do regime de pequenas oscilações? Entramos no regime não linear. Nele, a frequência depende da amplitude. 

A situação em que os ângulos são pequenos já havia sido apresentada e corresponde a uma força restauradora (ou torque restaurador, para ser mais preciso, se lembrarmo-nos de que são os torques que provocam rotações). A intensidade do torque no pêndulo simples crescia linearmente com o deslocamento relativo à posição de equilíbrio. Assim, no equilíbrio não há torques atuando sobre o corpo, como não há deslocamento; a cada grau que nos desviamos da origem a intensidade do torque (que tende a nos levar de volta ao equilíbrio) cresce sempre pela mesma quantidade. Por isso chamamos esse regime de linear.

Conforme aumentamos a amplitude, chega um ponto em que ao aumentarmos o deslocamento relativo do pêndulo o torque restaurador já não cresce na mesma proporção. De fato, o torque é descrito matematicamente por uma função senoidal.

Analisemos, então, como se comporta o movimento do pêndulo quando saímos do regime de pequenas oscilações (linear). A partir da equação de conservação de energia

podemos extrair que

Período do pêndulo não linear:

No caso do pêndulo real podemos calcular, resolvendo-se a equação acima, a posição angular do corpo em cada instante de tempo. O resultado é uma função do tipo arco-tangente e sua representação gráfica é dada pela seguinte figura:

Nela vemos que a posição angular não varia linearmente; na verdade, como esperado, temos uma variação aproximadamente linear nas regiões próximas da origem, isto é, quando as aberturas angulares são pequenas. Vemos, contudo, que conforme quando o pêndulo gira por múltiplos de \pi a partir da origem ele atinge um ponto de equilíbrio (instável) e o ângulo poderia parar de variar.

As projeções nos eixos horizontal e vertical são ainda dadas por x(t)=cos(theta) e y(t)=sin(theta), mas o resultado difere do pêndulo simples. De fato, a representação gráfica das projeções, mostrada abaixo, evidencia esse fato:

Ao construirmos a trajetória y=y(x), somos levado à seguinte figura,

que se assemelha bastante àquela associada ao pêndulo simples.

 No entanto, se utilizarmos uma luz do tipo estroboscópica veríamos que o pêndulo na realidade não percorre todos os trechos do seu percurso com a mesma velocidade. Se tirarmos fotos do movimento e sobrepusê-la-mos, teríamos a seguinte figura:

que indica que o pêndulo passa rapidamente pelo ponto de máximo enquanto passa uma quantidade de tempo relativamente grande no ponto de equilíbrio instável no topo. Essa é a descrição de um movimento como aquele apresentado no vídeo visto na seção 1.3:

Uma comparação com o Pêndulo Simples:

No caso do pêndulo simples temos um movimento harmônico simples, onde a posição angular do objeto cresce linearmente com o tempo, como mostrado na figura abaixo:

Conforme o tempo passa e a posição angular varia, também mudam as projeções vertical e horizontal do movimento, dadas por y(t)=sin(wt) e x(t)=cos(wt):

Ao combinarmos as equações horárias para as componentes x e y podemos escrever uma função que descreve a trajetória do corpo, y=y(x), que para cada valor da distância horizontal x  fornece a altura vertical y. A representação gráfica dessa função é dada na figura abaixo:

Abaixo sobrepomos o comportamento do pêndulo simples (em azul) com o do pêndulo real, não-linear (em laranja) e vemos como as soluções são aproximadamente equivalentes para pequenas amplitudes:

O modelo de Sine-Gordon apresenta também soluções multi-solitônicas. Na animação abaixo vemos a colisão entre dois sólitons.

Próxima Página

Referências da página

https://youtu.be/SAbQ4MvDqEE

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Sine_gordon_9.gif

https://phet.colorado.edu/pt_BR/