4.0 - Fenomênos  não lineares

Nesta seção investigaremos as diferenças que os fenômenos não lineares, que desejamos compreender melhor, apresentam com relação aos lineares, com os quais já estamos mais familiarizados pelas discussões precedentes.

Ciência não linear é aquela que estuda os sistemas matemáticos e os fenômenos naturais que são não lineares. Essa definição é bastante estranha, é como se definíssemos os objetos de estudo da zoologia como sendo o estudo dos animais não-elefantes. O ponto é, a maior parte dos fenômenos naturais e equações matemáticas são não-lineares. A linearidade é, na verdade, uma exceção importante.

Então, vamos começar a diferenciar a linearidade da não-linearidade!

Se temos uma equação, é fácil diferenciar se ela é linear ou não. Pois, quaisquer duas solução de uma equação linear podem ser somadas para formar uma nova solução, isto é o princípio da superposição. Sendo assim, seus métodos de solução são mais simples, pois podemos "quebrar" o problema em muitos pedaços menores e, então, somar as soluções separadas para obter a solução geral do problema.

Por outro lado, infelizmente, duas soluções de uma equação não linear não podem ser adicionadas para formar outra solução. Ou seja, a superposição falha.  Sendo assim, não existe um método analítico geral para resolver equações não lineares.

Fisicamente falando, a distinção entre o comportamento linear e não linear é melhor absorvida com exemplos. Analisemos a seguinte situação: Quando a água flui através de uma tubulação com baixas velocidades o movimento é laminar e, assim, caracterizado por um comportamento linear: Regular e previsível. No entanto, quando a velocidade excede um valor crítico, o movimento se torna turbulento, com redemoinhos que se movimentam de uma forma complicada e irregular.

A partir de uma reflexão sobre as diferenças entre fenômenos lineares e não lineares, podemos fornecer, pelo menos, três características para diferenciá-los enquanto fenômenos físicos.

Primeiro, o movimento é diferente. Sistemas lineares apresentam, tipicamente, movimentos suaves e regulares e podem ser descritos em termos de funções bem comportadas. Sistemas não lineares, por outro lado, quase sempre vão do movimento suave para o caótico, podendo apresentar comportamento aleatório.

Segundo, a resposta de sistemas lineares a pequenas variações em seus parâmetros ou pelos estímulos externos é usualmente suave e diretamente proporcional ao estímulo.

(Lei de HOOKE).

Mas para sistemas não lineares, uma pequena variação em seus parâmetros pode provocar uma enorme diferença no movimento. Além disso, a resposta a estímulos externos não é diretamente proporcional.

Terceiro, um pulso, no sistema linear normalmente decairá se espalhando com o passar do tempo. Esse efeito é chamado dispersão. Ele é o responsável por fazer as ondas perderem sua forma e desaparecer. Por outro lado, um sistema não linear pode possuir estruturas altamente coerentes e localizadas.

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Referências da página

http://www.acs.psu.edu/drussell/Demos/superposition/superposition.html