4.5- Método de Hirota - Resolvendo a KdV

Resolver uma equação não linear é um tanto trabalhoso, portanto, apresentamos o método de Hirota para a construção de soluções multisolitônicas para sistemas integráveis não-lineares. Soluções multisolitônicas podem, claro, ser derivadas por outros métodos, como espalhamento inverso, por exemplo. A vantagem do método de Hirota é que ele é mais algébrico que analítico, além de ser mais rápido para produzir resultados. Vamos discuti-lo em um pouco mais de detalhe no contexto da equação de KdV. No entanto, o Método de Hirota pode ser utilizado para resolver outras equações não lineares como Sine-Gordon, MKdV, por exemplo.

Iniciamos introduzindo uma transformação para novas variáveis dependentes ω, da seguinte forma,

u = ∂x²ω 

Assim a equação de KdV pode ser escrita como,

Realizando uma nova mudança de variáveis da seguinte forma:

E escolhendo convenientemente o parâmetro lambda, obtemos:

 Introduzindo o operador de Hirota, 

Podemos reescrever, 

 Agora que temos a equação de KdV na forma bilinear, podemos construir suas soluções. A solução para multisólitons é obtida por uma expansão,

Para encontrar a solução para um sóliton, apenas um termo é necessário:

Para formar a solução para um sóliton utilizamos um f1 com apenas uma exponencial,

sendo,

Com isso, podemos escrever,

Solução da equação de KdV.

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