3.5 - A importância das leis de conservação de energia

No caso de problemas unidimensionais, o conhecimento de uma grandeza conservada permite, em geral, resolver o problema. Foi assim que pudemos determinar a equação horária da posição de um oscilador harmônico, por exemplo. Neste caso em particular a equação de movimento, proveniente da segunda lei de Newton tem uma forma relativamente simples, e o problema poderia ser resolvido dessa forma.

Contudo, muitas vezes a equação de Newton tem uma forma que não facilita sua solução. Nessas situações, conhecer leis de conservação pode auxiliar nessa tarefa. 

No caso do sistema massa-mola (ou do pêndulo simples) temos que

Isolando dx/dt

 e integrando,

onde a amplitude depende da energia E inicialmente fornecida ao sistema.

De fato, inicialmente

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Desse modo a lei de conservação associada à energia foi capaz de permitir-nos resolver o problema e determinar o comportamento exato do sistema, oscilando harmonicamente.

Como

temos

e

De fato, notamos que x e p formam uma elipse descrita por

A equação acima define uma elipse.

Tomando-se:

temos um circulo de raio sqrt(E)

Na figura abaixo mostramos a trajetórias de movimentos equivalentes e que diferem apenas pela energia inicial dada. Nos casos em que se dá mais energia a amplitude do movimento é maior, como era de se esperar.

A figura acima mostra as possíveis trajetórias que compõem o espaço de fase. Note que o corpo não é livre para assumir qualquer configuração do espaço de fase. A coisa que esta restringindo o movimento a ser bem comportado é a lei de conservação de energia, válida neste exemplo.

V (x) = cosh (x)

No caso de um potencial que depende da posição por meio de uma função cosseno hiperbólico, temos um comportamento similar ao do oscilador harmônico.

Abaixo mostramos o diagrama de espaço de fase para esse problema e observamos que, embora as curvas não sejam elipses, novamente temos curvas fechadas para cada valor de energia dada inicialmente.

Aqui

é sempre positivo desde que se dê uma energia inicial mínima. 

V(x) = cos (x)

Finalmente tomamos como exemplo um potencial harmônico que depende da posição como um cosseno trigonométrico.

0<p^2=cos(x)+(E-1)<E

(Para baixas energias há restrições em x, que fica restrito a uma faixa, e p também fica limitado)

(Para altas energias há restrições em p, que fica restrito a uma faixa, embora x possa ser qualquer)

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