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A partir da solução da equação de KdV, mostramos, como os valores das constantes A, referente ao termo não linear, e B, associado ao termo dispersivo da equação de KdV, afetam a forma da sua solução. Percebemos que, a medida que diminuímos o termo dispersivo, a solução da KdV fica mais estreita, conforme figura abaixo:
soluções da KdV para valores de B iguais a 1 (azul), 1/5 (laranja), 1/10(verde), 1/20 (vermelho) e 1/50 (violeta).
E, em oposição, quando diminuímos o termo de não linearidade a solução se torna mais larga.
soluções da KdV para valores de A iguais a 1 (azul), 1/5 (laranja), 1/10(verde), 1/20 (vermelho) e 1/50 (violeta).
O importante é que a não linearidade compensa a dispersão criando uma onda que mantêm sua forma preservada. Abaixo, na Figura, apresentamos a evolução temporal da equação de KdV. Percebemos, que sua forma permanece inalterada a medida que o tempo passa, isso se deve, à combinação singular entre os termos dispersivo e não linear da equação de KdV.
Evolução temporal da solução da eq. de KdV.
Introduzindo uma pequena modificação na discretização da equação que quebra a integrabilidade do problema numérico, conforme se nota na figura abaixo,
Evolução temporal da equação de KdV modificada.
Por fim, apresentamos a evolução da equação de KdV utilizando como condição inicial uma função senoidal. Percebemos que essa solução não é estável sob a evolução temporal de Korteweg e de Vries, não correspondendo a uma solução solitônica. De fato, dentre as infinitas possibilidades para as condições iniciais apenas uma classe muito restrita comportar-se-á como sólitons.
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