4.2.1 - As leis de conservação nas cadeias de Toda

A cadeia do Toda é uma rede de massas presas a molas cuja força restauradora cresce exponencialmente.

O vídeo abaixo mostra a evolução de uma configuração solitônica nessa rede.

Já vimos que a existência de uma lei de conservação auxilia-nos a resolver um problema. Mostramos explicitamente como o conhecimento sobre a conservação de energia em um sistema unidimensional proporciona um mecanismo para encontrar a solução do problema.

A existência de leis de conservação fornece uma equação de vínculo que deve ser satisfeita pelo sistema. No caso unidimensional, em que partícula só tem um grau de liberdade (que é se mexer ao longo de uma linha) foi suficiente o conhecimento de uma única equação de conservação.

Se tivermos uma equação para cada grau de liberdade do problema, podemos em tese resolvê-lo de maneira similar. Acontece que nem sempre isso é possível; na verdade, na maioria das vezes temos bem menos vínculos do que graus de liberdade.

No caso de uma cadeia de massas e molas com N partículas, temos N equações, uma para cada corpo. Usando a presente argumentação, para que pudéssemos resolvê-la exatamente deveríamos ter (e conhecer!) N leis de conservação. A existência desses vínculos imporia sérias restrições no movimento dos corpos, que não poderia ser qualquer. Imagine você num grupo de torcedores numa arquibancada a quem impomos a seguinte regra: você deve permanecer sentado, quieto, e quando seu vizinho da esquerda levantar-se da poltrona, você deve levantar-se também, colocar seus braços para cima, gritar "Oooo" a 60 decibéis e em seguinte sentar-se novamente. Essas regras impedem que os torcedores comportem-se aleatoriamente: quando o primeiro torcedor levantar-se e gritar cria-se a propagação de um sinal conhecido no futebol como uma "ola".

O curioso é que no caso da rede de Toda com N corpos, conhecem-se explicatamente as N leis de conservação. Isso é capaz de restringir o movimento de cada corpo e dar uma coerência ao pulso.

Duas das quantidades conservadas apresentam uma interpretação física simples; são elas a quantidade de movimento total (ou momentum) e a energia total do sistema. As demais leis de conservação carecem de uma imagem familiar, mas dão conta do recado e dão ordem ao movimento.

Abaixo mostramos a evolução da energia total (esquerda) e momentum total (direita) ao longo do tempo.

Inicialmente, não temos excitação nenhuma na rede, mas após poucos instantes a rede passa ser percorrido por um sóliton, de modo que tanto a energia quanto a quantidade de movimento na rede cresce. Conforme o pulso se propaga notamos nas figuras acima que essas grandezas são conservadas. Até que o pulso deixa a região, levando consigo o momentum e a energia.

Na figura abaixo, focamos apenas no intervalo em que o pulso está todo na região de interesse e fica evidente a conservação de energia e momentum, muito embora as posições e velocidades de cada componente da rede estejam variando a cada instante.

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