Hendrik Albert Schultens wordt op 25 februari 1749 in Herborn (Duitsland) geboren. Hij is zoon van Jan Jacob Schultens en Suzanna Amalia Schramm en kleinzoon van de beroemde oriëntalist Albert Schultens. Zowel zijn grootvader als zijn vader waren hoogleraar Oosterse letterkunde en Theologie en Rector Magnificus van de Leidse Universiteit. Hendrik Albert treedt in hun voetsporen en gaat Oosterse Talen studeren.
Als hij 23 is, reist hij naar Engeland om de daar aanwezige Arabische handschriften te onderzoeken. Op 12 september vertrekt hij vanuit Hellevoetsluis naar Londen. Vanuit daar gaat hij naar Oxford waar hij tot 7 januari 1773 blijft. Daarna is hij weer twee maanden in Londen. Op 9 maart vertrekt hij naar Cambridge om daar de Arabische handschriften te bekijken.
Bij zijn terugkeer in Londen, twee weken laten, wacht hem goed nieuws. Hij heeft in Oxford zijn masters degree gehaald. In die tijd was dat een hoge onderscheiding die alleen mensen te beurt viel die zich in de wetenschap bijzonder verdienstelijk hadden gemaakt. Het was een mooie afsluiting van zijn reis. Na acht maanden komt hij half mei weer in Nederland aan.
Bij zijn terugkeer in Nederland accepteert hij op 15 november 1773 een post als hoogleraar in Amsterdam, waarvoor hij al voor zijn vertrek was gevraagd. Hij had nog wel in Engeland geprobeerd aan een van de universiteiten die hij bezocht een aanstelling te krijgen, maar dat was – onder meer vanwege allerlei bepalingen tegen vreemdelingen – niet gelukt.
In 1774 trouwt hij met Catharina Elisabeth de Sitter, met wie hij vijf kinderen krijgt. In 1778 overlijdt zijn vader. Hendrik Albert maakt de overstap naar Leiden en volgt zijn vader in al zijn functies op. Zo treedt de derde generatie Schultens aan in Leiden. In 1787 wordt ook hij Rector Magnificus, op 38-jarige leeftijd. Hij kan hier niet lang van genieten, want al na vijf jaar wordt hij ernstig ziek. In 1793 overlijdt hij, 44 jaar oud.
De eer die Schultens tijdens zijn korte leven te beurt valt is niet te verklaren uit zijn wetenschappelijke productie of beroemde naam alleen. Hij publiceerde zelfs relatief weinig. Hij was vooral een prototypische verlichte geleerde, gematigd en belezen. Hij was breed georiënteerd en spande zich in voor verschillende genootschappen. Hij was voorzitter van de Maatschappij der Nederlandse Letterkunde en sprak geregeld en goed voor het Taal- en Dichtlievend Genootschap ‘Kunst wordt door Arbeid verkregen’.