Quadratura do Círculo

 Geometria Sagrada em Acção

Pesquisado, Investigado e Estudado por:

José Curado

Solução Matemática

Atribuímos o valor 1 ao raio R da circunferência,

pelo que o diâmetro D é 2,

assim, a área do quadrado é igual a

sendo o lado L igual a

Esta solução, porque não é absoluta devido à irracionalidade de Pi (P), é somente dada como referência matemática. Portanto, assumimos uma aproximação de 99,999...% (infinitamente).

Soluções Geométricas Construídas com Compasso e Régua

Construção 1 - A partir de um quadrado dado, utilizando régua e compasso.

A superfície do quadrado é dividida em 16 partes iguais. Os oito pontos quadrantes obtêm-se como indicado na figura.

Comprovação matemática, com recurso ao teorema de Pitágoras.

Aproximação de 99,083% à referência matemática dada.

Construção 2 - A partir do pentágono, utilizando régua e compasso. 

O pentágono é subdividido até que o círculo atinja 20 partes iguais, cada uma delas com 18º. Os oito pontos quadrantes obtêm-se como indicado na figura.

Comprovação matemática, com recurso à trigonometria. A corda entre os pontos 4 e 7 é igual ao lado L, correspondente ao arco de 7 x 18º = 126º.

Aproximação de 99,463% à referência matemática dada.

Construção 3 - A partir de um quadrado dividido em 100 quadradinhos iguais.

O segmento de recta OA corresponde ao raio R.

O segmento OB corresponde ao cateto do triângulo rectângulo OBC.

BC corresponde ao lado L do quadrado.

Assim, OA = 4/5 de OB.

Se OA = 1, OB = 1,25 

Comprovação matemática com recurso ao teorema de Pitágoras.

Solução Geométrica Construída com Régua, Compasso e Transferidor

Construção 4 - O círculo é dividido em 72 partes iguais, cada uma delas com 5º. Os oito pontos quadrantes obtêm-se como indicado na figura.

Comprovação matemática, com recurso à trigonometria. A corda entre os pontos 4 e 7 é igual ao lado L, correspondente ao arco de 25 x 5º = 125º.

Aproximação de 99,911% à referência matemática dada. 

A aproximação quase absoluta corresponde a um ângulo trigonométrico de 124º 48' 22", mas isto já exige instrumentos e cálculos que ultrapassam o compasso, a régua e o transferidor. As soluções geométricas esgotam-se nas quatro construções apresentadas.

A perfeita e absoluta quadratura do círculo, em virtude de o número Pi (P) ser transcendente, só é possível no infinito; o mesmo é dizer que só o Deus-Universo, ser abstracto, perfeito e transcendente, a consegue obter. Esta questão teórica pura torna-se, portanto, filosófica e simbólica nas minudências da espiritualidade.

Na prática, a construção 3, numa folha A4, satisfaz plenamente a resolução do problema, pois o traço a lápis, por mais fino que seja, absorve completamente a diferença garantindo que a quadratura está no desenho, ainda que virtual e indeterminável. Esta seria uma certeza no mundo esotérico dos antigos arquitectos e construtores que os iniciados na Tradição Fundamental se encarregaram de transmitir entre si ao longo dos milénios.

    Qual é o valor desta curiosidade geométrica e matemática? Apenas um sinal. Ou melhor, um dos vários sinais da Tradição Esotérica Fundamental. É de uma antiguidade impressionante.

      Decidimos escolhê-lo como fundo para o título do nosso "site".

O Papiro de Rhind

A mais antiga referência ao problema da quadratura do círculo que chegou até aos nossos dias consta do papiro de Rhind, copiado cerca de 1.800 AEC pelo escriba Ahmes, a partir de um documento já com um ou dois séculos de existência nessa altura.

Para calcular a área de um quadrado correspondente ao círculo de diâmetro D, Ahmes subtrai 1/9 de D a D, multiplica a diferença por D e subtrai a este produto a sua nona parte. Ou seja, o círculo fica associado a um quadrado cujo lado L mede 8/9 do seu diâmetro.

Pode considerar-se que este é um óptimo resultado para a quadratura do círculo, tendo em conta outras tentativas entretanto conhecidas e cujos resultados estão mais afastados do valor da área do círculo.

Assim:

L = D x 8/9         >        2 x 8/9 = 1,7777777

Aproximação de 99,700% à referência matemática dada.

Este valor fica imediatamente abaixo do conseguido pela divisão do círculo em 72 partes iguais, o que é surpreendente, não só pela sua grande aproximação mas sobretudo pelos "setes" à direita da vírgula. Isto prova que os iniciados egípcios conheciam a matemática sagrada e secreta na antiguidade.

Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a sua origem se esconde nas areias da antiga civilização egípcia. Como Aristóteles explica: A matemática nasceu nas vizinhanças do Egipto, porque aí era concedido tempo livre à classe sacerdotal. (cit. in Burton, 1985, p. 32).

Ora, todo o conhecimento que temos hoje sobre a Matemática egípcia baseia-se em dois grandes documentos: o papiro de Rhind e o papiro de Moscovo. Outros documentos importantes são os papiros de Berlim, de Kahun e do Cairo.

Estes papiros são compostos por exposições de problemas triviais e suas resoluções. Na verdade, o que distingue a matemática egípcia da matemática babilónica e, mais tarde, da grega é o facto de não  existirem demonstrações  nem serem conhecidas as origens das fórmulas utilizadas. O que se encontra são exemplos comprobatórios; nunca demonstrações.

Este estudo vai centrar-se no papiro de Rhind e nos seus problemas.

    O papiro de Rhind intitula-se "Instruções para conhecer todas as coisas secretas" e é, sem dúvida, o mais precioso documento de quantos existem relativos aos conhecimentos matemáticos dos egípcios.

Conhece-se muito pouco sobre a intenção do papiro. Se há indicações de que poderia ser um documento com intenções pedagógicas ou mesmo um simples caderno de notas de um aluno, para outros historiadores representa um guia das matemáticas do antigo Egipto, pois é o melhor texto de matemática.

Basicamente o papiro dá-nos informações sobre aritmética, fracções, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares e trigonometria básica.

Neste papiro aparecem alguns erros, importantes em alguns casos, que podem dever-se  ao facto de ter sido copiado de textos anteriores.