Análisis y planteamiento

NOTA: El problema en EES se encuentra hasta el final de ésta subpágina. Conforme se fueron realizando los cálculos se fue construyendo un programa más amplio, es por eso que algunos cálculos se encuentran comentados.

Para cada una de las soluciones requeridas se adjuntarán capturas de pantalla.

Como parte de la evaluación del curso de Transferencia de Calor me fue asignada la resolución de un problema "final", mismo que resolví junto con mi compañero Marc Steiger.

Los puntos a tratar se desarrollan en la página del sitio Examen Final. Sin embargo, el primer paso para plantear el problema fue traducirlo y comentarlo junto con Marc.

PROBLEMA

Se tiene un apilamiento de productos congelados a -20 [°C], y cuya conductividad lambda se estima de 1[ W/m*K], éste se coloca dentro de un refrigerador horizontal en un supermercado. Sobre la cara superior de dicho apilamiento se recibe el calor del medio ambiente de T∞=+20 [°C] en proporción a un coeficiente de intercambio de h=10[ W/m*K].

Para que los productos se conserven a -20 [°C] se supone que el calor del medio ambiente de despeje por el sistema de refrigeración.

El problema original pide el cálculo de las temperaturas de las caras superiores del apilamiento de los productos, después de 3 diferentes tiempos propuestos, suponiendo que dicho sistema de refrigeración falle. Sin embargo, cada una de las temperaturas proporcionadas por el problema, de acuerdo al tiempo de descomposición en horas que le corresponden, se trabajarán como "datos experimentales" (aunque no lo sean como tal) con la finalidad de apoyar el cálculo del calor específico cp de los productos.

Tiempo y temperatura 1: 1 hora, -4 [°C]

Tiempo y temperatura 2: 6 horas, 5.7 [°C]

Tiempo y temperatura 3: 12 horas, 8.9 [°C]

PLANTEAMIENTO

El planteamiento inicia con una breve retroalimentación del concepto de sólido semi-infinito, misma que nos apoyó a comprender el por qué el apilamiento de productos debía considerarse de esta manera:

Un sólido semi-infinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas direcciones. Éste aproxima muchos problemas prácticos. Puede ser usado para estimar o para aproximar la respuesta transitoria de un sólido finito.

Si se considera un sólido semi-infinito con propiedades termo físicas constantes, sin generación interna de calor, condiciones térmicas uniformes sobre su superficie expuesta e, inicialmente, una temperatura uniforme de Ti en toda su extensión. En este caso, sólo se tiene transferencia de calor en la dirección normal a la superficie (la dirección x) y, por consiguiente, es unidimensional.

Las condiciones térmicas impuestas sobre la superficie expuesta rigen la conducción de calor en un sólido semi-infinito y, por lo tanto, la solución depende fuertemente de la condición de frontera en x = 0. [1]

La resolución analítica detallada para el caso de una temperatura constante Ts sobre la superficie sería:

La técnica de separación de variables no funciona en este caso, debido a que el medio es infinito. Pero otro procedimiento ingenioso, conocido como variable de semejanza, funciona bien para convertir la ecuación diferencial en derivadas parciales en una ecuación diferencial ordinaria.

Variable de semejanza

Si se aplica la regla de la cadena, todas las derivadas en la ecuación de conducción de calor se pueden transformar en la nueva variable. Finalmente, al resolver la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden se obtiene la función de error y la función complementaria de error

Se pueden obtener soluciones analíticas para otras condiciones de frontera sobre la superficie. La condición que rige el comportamiento del sistema o sólido semi-infinito de estudio es la de Convección sobre la superficie: el sólido tendrá una temperatura en su superficie constante.

El modelo matemático con el que se estudia la condición anterior es el siguiente:

Las consideraciones iniciales para la solución del problema son:

1. Tal y como lo recomienda el enunciado del problema, considerar el apilamiento de productos congelados como un cuerpo semi-infinito.

2. Tal y como se describirá con más detalle en el apartado de la segunda parte del problema, se considerará convección natural y no convección forzada como se analizó en un inicio.

3. Ya que el calor que recibe el apilamiento de los productos es sobre su cara superior, consideramos un sólido "cúbico" cuyo intercambio de calor se está dando en su "cara plana".