Semana 16

12-14 Mayo

continuación FLUJO DE CALOR EN UN MEDIO SEMI-INFINITO

Durante ésta semana se continuó con el estudio del flujo de calor en un medio semi-infinito.

Primero, consideré importante investigar acerca del objeto de estudio:

Sólido semi-infinito, ¿qué es?

Un sólido semi-infinito es un cuerpo idealizado que tiene una sola superficie plana y se extiende hacia el infinito en todas direcciones. Éste aproxima muchos problemas prácticos. Puede ser usado para estimar o para aproximar la respuesta transitoria de un sólido finito.

Se han obtenido soluciones de forma cerrada para tres tipos de cambios en las condiciones de la superficie, aplicadas instantáneamente para t=0:

1. Un cambio repentino en la temperatura de la superficie Ts dif Ti

2. Una aplicación repentina de un flujo de calor especificado q0 como, por ejemplo, exponer elsuperficie a radiación

3. Una exposición repentina de la superficie a un fluido a una temperatura diferente a través de un coeficiente de transferencia de calor uniforme y constante h

Considérese un sólido semi-infinito con propiedades termo físicas constantes, sin generación interna de calor, condiciones térmicas uniformes sobre su su perficie expuesta e, inicialmente, una temperatura uniforme de Ti en toda su extensión. En este caso, sólo se tiene transferencia de calor en la dirección normal a la superficie (la dirección x) y, por consiguiente, es unidimensional.

Las condiciones térmicas impuestas sobre la superficie expuesta rigen la conducción de calor en un sólido semi-infinito y, por lo tanto, la solución depende fuertemente de la condición de frontera en x = 0. [1]

Enseguida, se presenta una resolución analítica detallada para el caso de una temperatura constante Ts sobre la superficie.

La técnica de separación de variables no funciona en este caso, debido a que el medio es infinito. Pero otro procedimiento ingenioso, conocido como variable de semejanza, funciona bien para convertir la ecuación diferencial en derivadas parciales en una ecuación diferencial ordinaria.

Variable de semejanza

Si se aplica la regla de la cadena, todas las derivadas en la ecuación de conducción de calor se pueden transformar en la nueva variable.

Finalmente, al resolver la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden se obtiene la función de error y la función complementaria de error mencionadas en la sesiones anteriores.

Se pueden obtener soluciones analíticas para otras condiciones de frontera sobre la superficie.

La condición mencionada durante clase es la de Convección sobre la superficie:

[1]

[2]

[3]

Estado no permanente

Para el caso del flujo en estado no permanente, es decir, transitorio, las soluciones pre escritas para las geometrías básicas placa plana, cilindro y un medio semi-infinito, se "combinan" en productos para 2 y 3 dimensiones.

Para consultar estas soluciones, ver "FactorFormaGeometriasCombinadas" ubicado en la parte final de ésta página.

Flujo de calor en estado permanente multidimensional (2D ó 3D)

En cualquier sistema bidimensional en el que el calor se transfiere de una superficie en T1 a otra en T2, la velocidad de transferencia de calor por unidad de profundidad depende solo de la diferencia de temperaturas T1-T2=Total la conductividad térmica k y r y la proporción M/N.

Esta relación depende de la forma del sistema y se llama factor de forma, S.

Para diversas geometrías los valores de S se pueden consultar en la literatura. Ver el archivo PDF "FactorFormaDiversasGeometrías" ubicado en la parte final de ésta página.

Cuando 2 solidos semi infinitos están en contacto

Lo explicado en las notas siguientes se puede visualizar, por ejemplo, al abanicarse la cara cuando hace calor, caminar sobre arena caliente

Solución gráfica del perfil de la temperatura en la superficie

Para comprobar que la h calculada y la Ts obtenida son correctas se usa la siguiente gráfica:

Con la finalidad de poner en práctica los conceptos aprendidos, se resolvieron tres problemas distintos, todos sugeridos del libro Cengel.

Los problemas mencionados hacen referencia a la problemática de la conducción de calor en régimen transitorio en paredes planas grandes, cilindros largos y esferas, y su conjunción cuando éstos están en contacto.

Para ver el desarrollo teórico completo estudiado durante la clase, además del análisis y solución del problema en EES, veraquí y aquí.

NOTAS PARA COMPRENDER LOS PROBLEMAS RESUELTOS

Los problemas de obtención de una temperatura en el centro de un huevo son problemas de tipo/que involucran conducción transitoria unidimensional, en forma adimensional.

La formulación de problemas de conducción de calor para la determinación de la distribución unidimensional transitoria de temperatura en una pared plana,

un cilindro o una esfera conduce a una ecuación diferencial en derivadas parciales; comúnmente, la solución de este tipo de ecuación está relacionada con series infinitas y ecuaciones trascendentes, que no resulta conveniente usar. [1]

Por ejemplo, la formulación del problema de conducción transitoria unidimensional de calor en una pared plana se puede expresar en forma adimensional como:

La expresión en forma adimensional reduce el número de variables independientes y de parámetros, de ocho a tres: de x, L, t, k, a, h, Ti y T ∞ a X, Bi y Fo Es decir:

Esto hace que sea muy práctico conducir estudios paramétricos y presentar los resultados en forma gráfica. Recuérdese que en el caso de análisis de sistemas concentrados, se tuvo f(Bi, Fo), sin variable espacial.

En los problemas de conducción transitoria unidimensional, la expresión en forma adimensional reduce el número de variables independientes de ocho a tres, lo que resulta muy conveniente en la presentación de resultados.

Finalmente, a partir de la explicación anterior se espera que sea posible comprender de una mejor manera el por qué del siguiente modelo matemático que permitirá obtener, a la par de un análisis, la temperatura en el centro de una esfera.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA COMPLETA

[1] Cengel A. Yunus. "Transferencia de calor y masa. Un enfoque práctico". (2007). 3a Ed. McGraw Hill

[2] Frank. P. Incropeira. "Fundamentals of heat and mass transfer". (2011). 7a Ed.

[3] S. Bohn Mark, M. Manglik, Raj Kreith, Frank. "Principles of heat transfer". (2011) 7a Ed. Cengage Learning.