Inden vi kan kigge på regnehierarkiet, er vi nødt til at få introduceret navne på de begreber, som vi bruger til at regne med.
Addition
Tal man adderer (lægger sammen) kaldes led. Resultatet af en addition kaldes en sum. I følgende regnestykke er 3 et led og 2 et led, mens 5 er en sum.
3 + 2 = 5
Subtraktion
Tal man subtraherer (trækker fra hinanden) kaldes led. Resultatet af en subtraktion kaldes en differens. I følgende regnestykke er 8 et led og 1 et led, mens 7 er en differens.
8 - 1 = 7
Multiplikation
Tal man multiplicerer (ganger med) kaldes faktorer. Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. I følgende regnestykke er 4 en faktor og 5 en faktor, mens 20 er et produkt.
4 ∙ 5 = 20
Division
Tal der bliver divideret med et andet tal, kaldes dividender. Tal man deler med, kaldes divisorer. Resultatet af en division kaldes en kvotient. I følgende regnestykke er 30 en dividend og 5 en divisor, mens 6 er en kvotient.
30 / 5 = 6
Det er vigtigt at udtale divisioner korrekt. Regnestykket skal udtales "30 divideret med 5 er lig med 6".
Når man skal udregne værdien af et udtryk, er der en bestemt rækkefølge, der skal følges. Den kaldes regnearternes hierarki:
Først udregnes parenteser. Regnereglerne for parenteser står i afsnit 4.2.
Dernæst udregnes potenser (f.eks. at opløfte i anden) og rødder (f.eks. kvadratrødder).
Så udregnes multiplikationer (dvs. at gange) og divisioner (dvs. at dele).
Til sidst udregnes additioner (dvs. at lægge sammen) og subtraktioner (dvs. at trække fra).
Et simpelt eksempel:
I udtrykket 33 - 6 · 7 + 3 · 22 udregnes først potensen 22 = 4
og vi får 33 - 6 · 7 + 3 · 4
Så udregnes alle leddenes værdier ved at multiplicere
33 - 42 + 12
Endelig beregnes det samlede resultat ved at addere og subtrahere:
3
Når der inddrages bogstaver i udtryk, navngives bogstaverne på samme måde som tallene. I følgende regnestykke er a et led, mens b og c er faktorer.
a + b ∙ c
I ovenstående udtryk kalder man også b ∙ c for et led, fordi det jo lægges sammen med a.
Man kan også blande tal og bogstaver sammen i udtryk. Det følgende udtryk består af de tre led 7∙a , 3∙a∙b og 6∙b. Alle tal og bogstaver i udtrykket er faktorer, da der bliver ganget med dem alle.
7 ∙ a + 3 ∙ a ∙ b - 6 ∙ b
Når man anvender bogstaver i udtryk, undlader man oftest gangetegnet. Ovenstående udtryk vil derfor oftest blive skrevet som
7a + 3ab - 6b
Når man multiplicerer to tal med hinanden vil produktets fortegn afhænge af de to tals fortegn. Fortegnsreglerne kan kort skrives således:
(+) ∙ (+) = (+)
(+) ∙ (-) = (-)
(-) ∙ (+) = (-)
(-) ∙ (-) = (+)
Det er en god ide altid at sætte en parentes om et negativt tal, der indgår i et regnestykke, som eksemplerne her viser:
5 ∙ 2 = 10
5 ∙ (-2) = -10
(-5) ∙ 2 = -10
(-5) ∙ (-2) = 10
Når man deler to tal med hinanden vil kvotientens fortegn afhænge af de to tals fortegn. Fortegnsreglerne kan kort skrives således:
(+) / (+) = (+)
(+) / (-) = (-)
(-) / (+) = (-)
(-) / (-) = (+)
Eksempler:
20 / 2 = 10
20 / (-2) = -10
(-20) / 2 = -10
(-20) / (-2) = 10
I et udtryk kan man bytte om på leddenes rækkefølge, som det passer en, blot man sørger for, at regnetegnet foran leddet følger med. I følgende udtryk står der altid et plus (evt. et usynligt plus) foran leddene 7a og 3ab, mens der altid står et minus foran leddet 6b:
7a + 3ab - 6b
= 3ab + 7a - 6b
= 3ab - 6b + 7a
= - 6b + 3ab + 7a
Ligeledes er faktorernes rækkefølge underordnet.
3 ∙ a ∙ b / c
= 3 ∙ b ∙ a / c
= a ∙ 3 ∙ b / c
Indgår der division, er det vigtigt at være opmærksom på divisoren. I følgende udtryk er divisoren c. Man skal altid læse regnestykket fra venstre mod højre. Står divisoren ikke til sidst i regnestykket, kan man tydeliggøre divisionen med en parentes.
= a ∙ 3 ∙ b / c
= a ∙ 3 / c ∙ b
= a ∙ (3 / c) ∙ b
= (a / c) ∙ 3 ∙ b