Matematik grundforløb - 1.6 Brøker, decimalbrøker og reelle tal

1.6 Brøker, decimalbrøker og reelle tal

Hvad er en brøk?

Når vi lægger to hele tal sammen, trækker dem fra hinanden eller ganger dem med hinanden, får vi altid et resultat, der er et helt tal. Dette gælder ikke ved division.

Hvis vi ser på divisionen 1 : 5, bliver resultatet ikke et helt tal. For at kunne angive resultatet af sådanne divisioner benyttes brøker. Resultatet angives som vist på figur 1.6.1.

Figur 1.6.1. Brøken en femte-del.

Tallet der står i toppen af brøken (dvs. over den vandrette streg) kaldes tælleren. Tallet der står nederst i brøken (dvs. under den vandrette streg) kaldes nævneren. Den vandrette streg kaldes brøkstregen.

I en brøk anvendes der kun hele tal i både tælleren og nævneren.

Figur 1.6.2. En brøk.

Et andet eksempel på en brøk er resultatet af udregningen 3 : 5, som angives med brøken vist i figur 1.6.3.

På en tallinje kan brøkerne ¹/₅ og ³/₅ indtegnes som vist på figur 1.6.4 ved at inddele stykket mellem 0 og 1 i fem lige store dele. Den første delestreg angiver ¹/₅ , mens den tredje delestreg angiver ³/₅.

Figur 1.6.3. Brøken tre femte-dele.

I brøken ³/₅ angiver nævneren, hvilke slags ”dele” der er tale om – i dette tilfælde 5’te dele. Tælleren angiver, hvor mange ”dele” vi har taget - i dette tilfælde 3 dele. Brøker kan altid opfattes som en division af tæller med nævner.

Figur 1.6.4. Tallinje der illustrerer placeringen af femte-dele.

Man inddeler brøker i tre typer afhængig af værdien af tælleren og nævneren.

Brøker, hvor tælleren er lig med tallet 1, kaldes for stambrøker.
Brøker, hvor tælleren er mindre end nævneren, kaldes for ægte brøker.
Brøker, hvor tælleren er større end nævneren, kaldes for en uægte brøker.

Mængden af alle brøkerne kaldes for de rationale tal og betegnes med symbolet Q. Vi kan ikke opskrive en liste af voksende brøker på samme måde, som vi kunne med de naturlige tal og de hele tal i afsnit 1.5. Det skyldes, at der mellem to brøker på en tallinje altid befinder sig uendeligt mange andre brøker.

Det er f.eks. muligt at inddele hver femtedel i tre lige store dele. Herved får vi inddelt stykket mellem 0 og 1 i femten lige store stykker, som illustreret på figur 1.6.5.

Figur 1.6.5. Tallinje der illustrerer placeringen af femtende-dele.

Hvor vi i figur 1.6.4 havde brøken ¹/₅ har vi nu brøken ³/₁₅ og hvor der i figur 1.6.4 stod ³/₅ har vi nu ⁹/₁₅. I begge tilfælde har vi ganget både tæller og nævner i figur 1.6.4 med samme tal, nemlig tallet 3. Vi siger, at vi har forlænget brøkerne med tallet 3. Selve brøkens værdi ændres ikke, når vi forlænger den. Det er samme tal.

På tilsvarende måde kunne vi gøre det modsatte med udgangspunkt i figur 1.6.5. Vi kunne f.eks. i brøken ⁹/₁₅ dividere både tæller og nævner med tallet 3 og få brøken ³/₅. Vi siger, at vi forkorter brøken med tallet 3. Igen ændres brøkens værdi ikke. Så det samme tal kan altså udtrykkes som brøk på mange forskellige måder ved at forlænge eller forkorte.

Forlænge og forkorte brøker

En brøk forlænges med tallet n ved at gange både tæller og nævner med tallet n. Brøkens talværdi ændres ikke. Figur 1.6.6 viser et eksempel og den generelle formel.

Figur 1.6.6. Forlænge en brøk.

En brøk forkortes med tallet n ved at dividere både tæller og nævner med tallet n. Brøkens talværdi ændres ikke. Figur 1.6.7 viser et eksempel og den generelle formel.

Hvis der ikke findes et helt tal, som går op i både tæller og nævner, siger man, at brøken er uforkortelig.

Figur 1.6.7. Forkorte en brøk.

Decimalbrøker

I afsnit 1.4 så vi, at vores talsystem er et positionssystem med grundtallet 10. Decimalbrøker er opbygget ud fra samme system. Hver gang vi bevæger os en position mod venstre bliver cifferets værdi 10 gange større. Hver gang vi bevæger os en plads mod højre bliver cifferets værdi 10 gange mindre.

Decimalbrøker er en udvidelse af dette princip. I tallet 387,25 tæller det første ciffer til højre for kommaet 10’ende dele, det andet ciffer til højre for kommaet tæller 100’ede dele osv. Altså er

387,25 = 3 · 100 + 8 · 10 + 7 · 1 + ²/₁₀ + ⁵/₁₀₀

Man kan nemt omsætte en decimalbrøk til en rigtig brøk, som det ses i eksemplet herunder med tallet 0,48. Først opskrives antallet af 10'ende dele og antallet af 100'ede dele der indgår i 0,48 som en sum:

0,48 = ⁴/₁₀ + ⁸/₁₀₀

Så forlænges brøkerne, så de får samme nævner. I dette tilfælde bliver det 100'ede dele:

0,48 = ⁴/₁₀ + ⁸/₁₀₀ = ^4∙10/_10∙10 + ⁸/₁₀₀ = ⁴⁰/₁₀₀ + ⁸/₁₀₀

Så lægges antallet af 100'ede dele sammen:

0,48 = ⁴/₁₀ + ⁸/₁₀₀ = ^4∙10/_10∙10 + ⁸/₁₀₀ = ⁴⁰/₁₀₀ + ⁸/₁₀₀ = ⁴⁸/₁₀₀

Så forkortes brøken. Her er det muligt at forkorte med 4:

0,48 = ⁴/₁₀ + ⁸/₁₀₀ = ^4∙10/_10∙10 + ⁸/₁₀₀ = ⁴⁰/₁₀₀ + ⁸/₁₀₀ = ⁴⁸/₁₀₀ = ^{48 : 4}/_{100 : 4} = ¹²/₂₅

Omvendt kan en brøk omsættes til decimalbrøk ved simpelthen at udføre den division, som brøken repræsenterer:

⁷/₂₀ = 7 : 20 = 0,35

Men det er nu ikke altid, at divisionen slutter som ovenfor. Et eksempel er:

¹/₃ = 1 : 3 = 0,33333333333333333333...

Divisionen bliver aldrig færdig, og vi ender med en uendelig decimalbrøk.

Endelig findes der også decimaltal med uendeligt mange decimaler, som ikke kan omskrives til brøker! Det mest kendte eksempel er nok tallet π (udtales pi). Ofte skriver vi tallet π som tilnærmelsen 3,14 eller ²²/₇, men det er langt fra præcist. I dag kendes tallet med mange milliarder decimaler, her er de første 10 decimaler:

π = 3,141.592.653.5

Reelle tal

Andre eksempler på tal, der har uendeligt mange decimaler, men som ikke kan skrives som brøker er vist i figur 1.6.8.

De tal der ikke kan skrives som decimalbrøker kaldes de irrationelle tal, og sammen med de rationale tal udgør de de reelle tal, som betegnes med symbolet R.

Med de reelle tal har vi nu alle de tal, der findes på talaksen.

Figur 1.6.8. Eksempler på irrationelle tal.

Page updated

Report abuse