Matematik grundforløb

3.3 Betydningen af a og b

Vi vil lave en matematisk undersøgelse af lineære funktioner for at se, hvilken betydning konstanterne a og b har for grafen for den lineære sammenhæng.

b-værdien

Hvis vi indsætter x = 0 i formlen

y = ax + b

får vi

y = a · 0 + b = 0 + b = b

Det betyder med andre ord, at grafen vil skære y-aksen i punktet (0 ; b), da y-aksen jo netop svarer til x = 0. Konklusionen er uafhængig af a-værdien. Ligegyldigt hvilken a-værdi vi har, vil a · 0 jo altid give 0. Dermed kommer vi altid frem til det samme resultat. Tallet b kaldes for begyndelsesværdien.

a-værdien

Hvis vi har en bestemt x-værdi, lad os kalde den x₁ og øger den med 1 til en ny x-værdi, lad os kalde den x₂, så er

x₂ = x₁ + 1

De tilhørende y-værdier kan beregnes ved at indsætte de to x-værdier i formlen:

Til x₁ hører y-værdien

y₁ = ax₁ + b

Til x₂ = x₁ + 1 hører y-værdien

y₂ = ax₂ + b

Vi kan erstatte x₂ med x₁ + 1, da de er jo lig med hinanden

y₂ = a(x₁ + 1) + b

Så ganger vi a ind i parentesen

y₂ = a · x₁ + a · 1 + b

y₂ = ax₁ + a + b

Så bytter vi om på rækkefølgen af a og b

y₂ = ax₁ + b + a

Vi kan nu erstatte ax₁ + b med y₁, da de er jo lig med hinanden

y₂ = y₁ + a

Herved kan vi se, at y-værdien er vokset fra y₁ til y₁ + a, når x-værdien er vokset med 1. Dette vil altså på almindelig dansk sige, at hver gang x øges med 1 (vi går et skridt ud ad x-aksen), vil y øges med a.

Altså vokser grafens y-værdier med samme trin, nemlig tallet a, hver gang vi går et skridt ud ad x-aksen. Alle de små trekanter på figur 3.3.1 er altså ens, hvorfor grafen må være en ret linje. Tallet a kaldes for hældningskoefficienten. Dette tal beskriver, hvor stejl linjen er. Hvis hældningskoefficienten er negativ, bliver y-ændringen negativ, og det svarer, til at linjen går nedad.

Figur 3.3.1. Da alle de små trekanter er ens, er grafen en ret linje.

Vi vil nu undersøge, hvordan y-variablen ændrer sig, hvis x-variablen gives en vilkårlig tilvækst på ∆x. Tegnet ∆ læses ”delta”, og det bruges til at angive ændringer eller forskelle.

Hvis x-værdien ændres fra x₁ til x₂ , er ændringen:

∆x = x₂ - x₁

∆x kaldes også for den absolutte tilvækst i x-variablen.

Ligesom før vil vi udregne de y-værdier, som hører til x-værdierne, og finde deres ændring

Til x₁ hører y-værdien

y₁ = ax₁ + b

Til x₂ = x₁ + ∆x hører y-værdien

y₂ = ax₂ + b

y₂ = a(x₁ + ∆x) + b

y₂ = ax₁ + a · ∆x + b

y₂ = ax₁ + b + a · ∆x

y₂ = y₁ + a · ∆x

Ændringen i y-variablen - altså forskellen på y₂ og y₁ - bliver derfor

∆y = y₂ - y₁

∆y = y₁ + a · ∆x - y₁

∆y = a · ∆x

Sammenhængen mellem ∆x og ∆y kan ses i figur 3.3.2.

Figur 3.3.2. To punkter på en ret linje giver anledning til en absolut x-tilvækst ∆x og en absolut y-tilvækst ∆y.

Vi kan sammenfatte vores undersøgelser i disse definition og sætninger:

Definition 3.2 - Absolut tilvækst af variable

Hvis en variabel, x , ændrer værdi fra et tal x₁ til et andet tal x₂, siges den absolutte tilvækst (eller ændring) af x at være:

∆x = x₂ - x₁

Sætning 3.1 - Graf for lineær sammenhæng

Grafen for en lineær sammenhæng, y = ax + b, er en ret linje i et almindeligt koordinatsystem.

Tallet a angiver linjens hældningskoefficient, og det angiver, hvor meget y-værdien ændres, når x-værdien øges med 1.

Tallet b angiver linjens skæring med y-aksen.

Sætning 3.2 - Tilvækst for lineære sammenhænge

I en lineær sammenhæng y = ax + b gælder, at hvis den uafhængige variabel, x, har den absolutte ændring ∆x, vil den afhængige variabel, y, få den absolutte ændring

∆y = a · ∆x

Dette kan også skrives som

a = ∆y / ∆x

Page updated

Report abuse