Embedded Files
Tværsnit af martiniglas i GeoGebra
Tværsnit af martiniglas i GeoGebra
I nogle tilfælde har man brug for flere funktioner i en matematisk model. Et eksempel på dette kunne være en matematisk model over tværsnittet af det martiniglas, som er vist i figur 3.11.1. Martiniglassets fod, stilk og hoved kan beskrives med tre rette linjer.
I dette afsnit vises, hvordan man kan bestemme en lineær funktion for hver del af glasset, og hvordan man opstiller en samlet funktion.
Man kan ikke beskrive en lodret linje ved hjælp af en lineær funktion, da hældningskoefficienten så skal være uendelig stor. Derfor vil vi rotere glasset, så stilken ligger vandret. I figur 3.11.2 er billedet af martiniglasset drejet 90 grader og lagt ind som et baggrundsbillede i et koorrdinatsystem i GeoGebra. Desuden er der indsat en række punkter, der følger tværsnittets yderside.
Der skal nu laves en liste for hvert linjestykke. Figur 3.11.3 viser "Opret liste"-værktøjet i GeoGebra. Med musen trækker man et felt uden om de punkter, som skal med i listen.
Figur 3.11.1. Martiniglas
Figur 3.11.2. Martiniglasset i GeoGebra.
Figur 3.11.3. Oprettelse af liste ud fra punkter.
I figur 3.11.4 kan man se, at listen, som består af punkterne C, D og E, er kaldt l1. At listen, som består af punkterne E, F, G, H, I og J, er kaldt l2. Og at listen, som består af punkterne J, K, L og M, er kaldt l3.
Der laves en lineær regression på data i hver af de tre lister med FitPoly-kommandoen, hvor graden sættes til 1. F.eks. skrives "FitPoly(l1,1)".
Figur 3.11.4. Der laves lineær regression på listerne.
Når regressionerne laves, opretter GeoGebra en tilhørende funktion. På figur 3.11.5 ses funktionerne f, g og h i algebravinduet samt graferne for dem i tegneblokken.
Martiniglassets ene side kan beskrives med de tre lineære funktioner
f(x) = -4,34x + 4,59
g(x) = 0,38
h(x) = 1,05x - 11,05
Men da det kun er små udsnit af funktionerne, som skal indgå i vores matematiske model, skal vi have afgrænset regneforskrifterne. Hertil benyttes en definitionsmængde.
Figur 3.11.5. Graferne for de lineære funktioner følger glassets sider.
Definitionsmængde
Definitionsmængde
Funktionen f
Martiniglassets fod udgøres af grafen for f i det interval, der starter i x-værdien x = 0. Intervallet slutter i den x-værdi, hvor grafen for f og grafen for g skærer hinanden. Ved hjælp af skæringsværktøjet i GeoGebra findes x-værdien til 0,97. Man kan også finde x-værdien ved at løse ligningen
f(x) = g(x)
-4,34x + 4,59 = 0,38
x = 0,97
I vores matematiske model skal regneforskriften for f altså kun bruges når x-værdien er mellem x = 0 og x = 0,97. Dette interval, som kaldes for definitionsmængden for f, forkortet Dm(f), skriver vi på en af følgende måder:
Med ulighedstegn
Dm(f): 0 ≤ x ≤ 0,97
eller med mængdeklammer (kantede parenteser)
Dm(f) = [ 0 ; 0,97 ]
Bemærk at mængdeklammerne vender ind imod det tal, som de står ved siden af. Det betyder, at x gerne må være lig med tallet.
Funktionen g
Tilsvarende skal vi have fundet en definitionsmængde for g. I beskrivelsen af martiniglassets tværsnit starter grafen for funktionen g hvor x = 0,97. Man kan bestemme at grafen for g og grafen for h skærer hinanden i et punkt, hvor x-værdien er x = 10,84. Grafen for g skal altså slutte hvor x = 10,84. Dette beskriver vi ved hjælp af definitionsmængden for g
Dm(g): 0,97 < x ≤ 10,84
eller
Dm(g) = ] 0,97 ; 10,84 ]
Bemærk at den første kantede parentes vender væk fra tallet, som det står ved siden af. Det betyder, at x ikke må være lig med tallet, men at x må være uendelig tæt på tallet. Når man afgrænser regneforskrifter på denne måde, skal man altid beslutte, om x-værdien i to grafers skæringspunkt skal høre til den ene regneforskrift eller den anden. Her er det valgt, at x = 0,97 hører til funktionen f.
Funktionen h
Definitionsmængden for h bestemmes som ovenfor. Vi starter med en x-værdi uendelig tæt på x = 10,84 og slutter med x-værdien for punkt M, x = 16,55.
Dm(h): 10,84 < x ≤ 16,55
eller
Dm(h) = ] 10,84 ; 16,55 ]
Gaffelforskrift
Gaffelforskrift
Den matematiske model over tværsnittet af martiniglasset skal sammensættes af de tre funktioner og deres definitionsmængder. Da modellen består af tre lineære funktioner, kaldes den for en stykkevis lineær funktion. Vi kalder modellen m for martiniglas og skriver den som vist i figur 3.11.6.
En forskrift der på denne måde opdeles i flere linjer, kalder man for en gaffelforskrift.
Gaffelforskriften kan indskrives i GeoGebra ved hjælp af Hvis-kommandoen, som vist i figur 3.11.7.
Figur 3.11.6. Gaffelforskriften for martiniglassets tværsnit.
Figur 3.11.7. Gaffelforskriften i GeoGebra.
Værdimængde
Værdimængde
Definitionsmængden for den stykkevis lineære funktion m er
Dm(m) = [ 0 ; 16,55 ]
De x-værdier, som vi må indsætte i regneforskriften for m, udgør altså en talmængde, der går fra x = 0 til x = 16,55. De tilhørende funktionsværdier (eller y-værdier), som vi får beregnet, udgør en anden talmængde, som vi kalder for værdimængden for m, forkortet Vm(m).
Det mindste tal i værdimængden svarer til den mindste y-værdi, som indgår i grafen for m. På figur 3.11.7 kan vi se, at denne y-værdi svarer til andenkoordinaten langs den vandrette graf for g og derfor må være y = 0,38.
Det største tal i værdimængden svarer til den største y-værdi, som indgår i grafen for m. På figur 3.11.7 kan vi se, at denne y-værdi er andenkoordinaten til højre endepunkt af grafen for h. y-værdien er lig med
h(16,55) = 1,05 · 16,55 - 11,05 = 6,33
Værdimængden for den stykkevis lineære funktion m kan nu opskrives
Vm(m): 0,38 ≤ y ≤ 6,33
eller
Vm(m) = [ 0,38 ; 6,33 ]
Grafisk aflæsning
Grafisk aflæsning
Hvis man ikke kender regneforskriften for den funktion, som man skal bestemme definitionsmængde og værdimængde for, kan man blive nødt til at lave en grafisk aflæsning. Hvis en graf er afgrænset til et bestemt interval, benytter man to forskellige markeringer som grafens endepunkter for at indikere, om x-værdien i endepunkterne hører med til grafen eller ej.
En cirkel betyder at endepunktet ikke hører med til grafen.
En udfyldt cirkel betyder at endepunktet hører med til grafen.
To eksempler på dette er vist i figur 3.11.8.
Funktionen f
Det venstre endepunkt er markeret med en cirkel. Det betyder, at punktet ikke hører med til grafen. Det højre endepunkt er ikke markeret. Det betyder, at grafen ikke ender i et punkt. Dvs.
Dm(f): -4 < x
eller
Dm(f) = ] -4 ; ∞ [
og
Vm(f): -2 < y
eller
Vm(f) = ] -2 ; ∞ [
Bemærk at en kantet parentes altid vender væk fra uendelighedstegnet.
Figur 3.11.8. Markeringen af grafens endepunkter har betydning for funktionens definitionsmængde og værdimængde.
Funktionen g
Det venstre endepunkt er markeret med en udfyldt cirkel. Det betyder, at punktet hører med til grafen. Det højre endepunkt er markeret med en cirkel. Det betyder, at punktet ikke hører med til grafen. Dvs.
Dm(g): -2 ≤ x < 2
eller
Dm(g) = [ -2 ; 2 [
og
Vm(g): -4 ≤ y < 5
eller
Vm(g) = [ -4 ; 5 [
Page updated
Report abuse