Embedded Files
På Pythagoras' tid anerkendte man ikke brøker eller decimalbrøker som tal på lige fod med de naturlige tal. Derfor var man meget interesseret i hele positive tal, der opfyldte Pythagoras' sætning. Tre hele tal, der opfylder Pythagoras' sætning, kaldes for et pythagoræisk trippel. F.eks. er
a = 3, b = 4 og c = 5
et pythagoræisk trippel, fordi 32 + 42 = 52.
Hvis man har fundet et trippel, kan man nemt finde flere ved at gange alle tre tal med samme faktor. Hvis vi f.eks. ganger med 11, får vi
a = 33, b = 44 og c = 55.
Man efterviser nemt på sin lommeregner, at disse tre tal også er et pythagoræisk trippel.
Det har vist sig, at samtlige pythagoræiske tripler kan findes ved hjælp af disse formler:
a = m2 - n2
b = 2 · m · n
c = m2 + n2
hvor m og n er hele positive tal, som man kan vælge frit – blot m er valgt større end n.
Hvis vi vælger m = 11 og n = 5, får vi:
a = m2 - n2 = 112 - 52 = 96
b = 2 · m · n = 2 · 11 · 5 = 110
c = m2 + n2 = 112 + 52 = 146
og man ser igen nemt ved hjælp af lommeregneren, at disse tal opfylder Pythagoras’ sætning.
Figur 1.3.2.1 viser en tabel over de nogle af de mindste tal, der udgør pythagoræiske tripler.
Figur 1.3.2.1. Pythagoræiske tripler.
Fermats sidste sætning
Fermats sidste sætning
Nu kunne man jo prøve at generalisere Pythagoras' sætning og forsøge at finde hele positive tal, der opfylder ligningen:
an + bn = cn
Det kunne f.eks. være at n = 3, så skulle man finde et a og et b og et c der opfylder ligningen
a3 + b3 = c3
Man opdager hurtigt, at det er meget vanskeligt at finde eksempler på hele positive tal, der opfylder denne ligning. Da matematikeren Pierre de Fermat (1601-1665) døde, fandt man i en af hans bøger en note, som han havde skrevet i margen.
Han havde skrevet, at ligningen an + bn = cn kun har heltallige løsninger når n = 2. Når n = 3, 4 eller højere hele tal, findes ingen løsninger. Endvidere skrev han, at han havde fundet et meget smukt og enkelt bevis for denne sætning, men at der ikke var plads i marginen til at skrive beviset ned. Han nåede aldrig at skrive dette bevis, inden han døde. Lige siden har matematikere kæmpet med dette problem uden at det er lykkedes at finde et bevis for denne Fermats store sætning, som den siden blev kaldt.
Figur 1.3.2.2. Pierre de Fermat.
Et bevis blev givet af amerikaneren Andrew Wiles i 1993, men det er langt fra simpelt og enkelt. Beviset inddrager så avanceret matematik, at kun et fåtal af verdens matematikere er i stand til at gennemskue beviset. Men i dag ved vi altså, at Fermat havde ret i sin sætning, men vi kender stadig ikke det bevis, som han muligvis havde fundet.
Page updated
Report abuse