Når man har tegnet en ret linje i et koordinatsystem, har man ofte brug for at finde regneforskriften, der hører til den lineære sammenhæng.

Vi ser først på et eksempel.

Eksempel 3.4.1 - Bestemmelse af konstanterne i lineær sammenhæng

Vi betragter en ret linje, der går gennem de to punkter P1 = (1 ; 4) og P2 = (3 ; 10).

Vi vil nu bestemme forskriften y = ax + b for linjen, dvs. vi skal bestemme konstanterne a og b.

Da punkterne P1 = (1 ; 4) og P2 = (3 ; 10) ligger på grafen, ved vi at følgende to ligninger er sande:

(*) 4 = a · 1 + b (vi har indsat x = 1 og y = 4 i ligningen y = ax + b)

og

(**) 10 = a · 3 + b (vi har indsat x = 3 og y = 10 i ligningen y = ax + b)

Vi bruger nu tallene på venstre side af lighedstegnene i de to ligninger (4 og 10) og trækker 4-tallet fra 10-tallet:

10 - 4

I stedet for at beregne resultatet vil vi erstatte 10-tallet med det vi ved, at det er lig med, nemlig 10 = a · 3 + b.
Tilsvarende erstatter vi 4-tallet med 4 = a · 1 + b:

10 - 4 = (a · 3 + b) - (a · 1 + b)

Den første parentes er en plusparentes, derfor kan den hæves uden nogle ændringer af udtrykket i den:

10 - 4 = a · 3 + b - (a · 1 + b)

Den anden parentes er en minusparentes, derfor ændres fortegnene af de to led, når parentesen hæves:

10 - 4 = a · 3 + b - a · 1 - b

Vi bytter rundt på leddenes rækkefølge, mens vi husker at fortegnene skal følge med:

10 - 4 = a · 3 - a · 1 + b - b

Da b - b = 0 fjerner vi de to led fra udtrykket:

10 - 4 = a · 3 - a · 1

Vi bytter rundt på faktorernes rækkefølge i de to led:

10 - 4 = 3 · a - 1 · a

Da 3a - 1a = 2a reducerer vi udtrykket:

10 - 4 = 2 · a

Vi beregner til sidst ligningens venstre side og får:

6 = 2 · a

For at ligningen skal være sand, skal det gælde at:

a = 3

Til sidst indsættes a = 3 i ligningen (*) og vi får:

4 = 3 · 1 + b

Dvs.:

4 = 3 + b

Hvoraf vi ser at

b = 1

Vi har således fundet frem til a = 3 og b = 1, så den lineære sammenhæng har ligningen:

y = 3x + 1            

Man kan udlede nogle generelle formler til beregning af a og b. Formlerne, der er præsenteret i sætning 3.3, beviset i afsnit 3.4.1.

Eksempel 3.4.2 - Brug af sætning 3.3

Figur 3.4.1 viser grafen for en lineær funktion, der går gennem punkterne P1 = (1 ; 4) og P2 = (6 ; 6). Vi aflæser

x1 = 1 og y1 = 4

x2 = 6 og y2 = 6

Hældningskoefficienten beregnes som