Vi vil nu bevise at formlerne til beregning af a og b gælder for alle lineære sammenhænge. Vi gentager sætning 3.3 fra afsnit 3.4:

Bevis for sætning 3.3

For at bevise disse formler ser vi på den retlinede graf, som vi ved er givet ved formlen

y = ax + b

blot kender vi endnu ikke værdierne for tallene a og b. Men da punkterne P₁ = (x₁ ; y₁) og P₂ = (x₂ ; y₂) ligger på grafen, ved vi, at når x₁ indsættes på x'ets plads i formlen, så får vi beregnet y₁ , dvs.:

(I) y₁ = ax₁ + b

Tilsvarende får vi beregnet y₂ når vi indsætter x₂ på x'ets plads i formlen:

(II) y₂ = ax₁ + b

Vi starter herefter med at opskrive et udtryk for y₂ - y₁ vha. formel (I) og formel (II), hvorefter der omskrives indtil a bliver isoleret:

y₂ - y₁ = (ax₂ + b) - (ax₁ + b)

y₂ - y₁ = ax₂ + b - ax₁ - b

y₂ - y₁ = ax₂ - ax₁

y₂ - y₁ = a · (x₂ - x₁ )

(y₂ - y₁ ) / (x₂ - x₁ ) = a

a = (y₂ - y₁ ) / (x₂ - x₁ )

I formel (I) kan man isolere b på følgende måde:

y₁ = ax₁ + b

y₁ - ax₁ = ax₁ + b - ax₁

y₁ - ax₁ = b

b = y₁ - ax₁

I formel (II) kan man på tilsvarende måde isolere b:

y₂ = ax₂ + b

y₂ - ax₂ = ax₂ + b - ax₂

y₂ - ax₂ = b

b = y₂ - ax₂

Sætning 3.3 er hermed bevist.