I afsnit 3.4 så vi, hvordan vi kunne bestemme værdierne for de to ubekendte konstanter, a og b, i en lineær sammenhæng, ved at opstille to ligninger ud fra to punkter fra funktionen. Dette svarer til at løse to ligninger med to ubekendte.
Når man skal løse to ligninger med to ubekendte går det ud på at bestemme en x-værdi og en y-værdi, der til sammen gør begge ligninger sande. Løsningen til de to ligninger består derfor i et talpar, som man kan fortolke som koordinatsættet til et punkt.
Når man skal løse et ligningssystem bestående af to ligninger med to ubekendte, er der forskellige metoder man kan anvende. Hvilken metode der er lettest, afhænger af de to ligninger. I dette afsnit vil vi se på forskellige eksempler.
Vi skal løse ligningssystemet bestående af ligning (I) og ligning (II)
(I) y = 5x + 12
(II) y = 8x + 18
Den y-værdi som er en del af vores løsning, skal opfylde begge ligninger på samme tid. Da højre side i de to ligninger begge er lig med y, kan vi sætte disse to sider lig med hinanden
5x + 12 = 8x + 18
Nu løses ligningen
5x - 8x = 18 - 12
-3x = 6
x = 6 / -3
x = -2
Når vi har fundet x-værdien, indsættes den i én af de to oprindelige ligninger, hvilket giver os den tilhørende y-værdi. Her vises at det er ligegyldigt hvilken af ligningerne der vælges:
Indsættes i ligning (I) fås
y = 5 · (-2) + 12 = -10 + 12 = 2
Indsættes i ligning (II) fås
y = 8 · (-2) + 18 = -16 + 18 = 2
Løsningen til ligningssystemet er (x ; y) = (-2 ; 2)
Vi skal løse ligningssystemet bestående af ligning (III) og ligning (IV)
(III) y + 6x = 5
(IV) y - 8x = -23
Dette ligningssystem kan løses som vist i eksempel 3.7.1, hvis vi først isolerer y i begge ligninger. Ligning (III) kan omskrives til
y = -6x + 5
Mens ligning (IV) kan omskrives til
y = 8x - 23
Vi får x-værdien
-6x + 5 = 8x - 23
5 + 23 = 8x + 6x
28 = 14x
2 = x
Og y-værdien
y = -6 · 2 + 5 = -12 + 5 = -7
Løsningen til ligningssystemet er (x ; y) = (2 ; -7)
Man kan godt løse ligningssystemet fra eksempel 3.7.2 uden at isolere y i begge ligninger
(III) y + 6x = 5
(IV) y - 8x = -23
Vi nøjes med at isolere y i ligning (III)
y = -6x + 5
Dette udtryk for y indsættes så i ligning (IV)
(-6x + 5) - 8x = -23
-6x + 5 - 8x = -23
-14x = -23 - 5
-14x = -28
x = 2
Vi kommer frem til samme x-værdi som i eksempel 3.7.2.
Vi skal løse ligningssystemet bestående af ligning (V) og ligning (VI)
(V) 3x + 2y = -10
(VI) 9x - 2y = -26
Dette ligningssystem kan løses ved først at isolere 2y i begge ligninger. Ligning (V) kan omskrives til
(VII) 2y = -3x - 10
Mens ligning (VI) kan omskrives til
-2y = -9x - 26
(VIII) 2y = 9x + 26
Da vi nu har to ligninger, hvis venstre side begge er lig med 2y, kan vi sætte dem lig med hinanden. Vi får
-3x - 10 = 9x + 26
Løses ligningen fås x = -3. Ved at indsætte x = -3 i ligning (VII) eller (VIII) fås
2y = -1
Det er nu let at bestemme at y = -1/2.
Løsningen til ligningssystemet er (x ; y) = (-3 ; -1/2)
Vi skal løse ligningssystemet bestående af ligning (IX) og ligning (X)
(IX) 2x + 3y = 10
(X) 4x + 5y = -14
I eksempel 3.7.4 udnyttede vi at begge ligninger kunne omskrives til 2y. Her vil vi udnytte samme ide, dvs. at vi vil omskrive begge ligninger, så det samme tal kommer til at stå foran begge y'er.
Vi ganger ligning (IX) igennem med det tal, som står foran y i ligning (X), dvs. 5
5 · (2x + 3y) = 5 · 10
10x + 15y = 50
15y = -10x + 50
Vi ganger ligning (X) igennem med det tal, som står foran y i ligning (IX), dvs. 3
3 · (4x + 5y) = 3 · (-14)
12x + 15y = -42
15y = -12x - 42
Da vi nu har to ligninger, hvis venstre side begge er lig med 15y, kan vi sætte dem lig med hinanden. Vi får
-10x + 50 = -12x - 42
-10x + 12x = -42 - 50
2x = -92
x = -46
Ved at indsætte x = -46 i ligning (IX) eller (X) fås
y = 34
Løsningen til ligningssystemet er (x ; y) = (-46 ; 34)
I eksempel 3.7.5 fik vi på et tidspunkt følgende to ligninger
(XI) 10x + 15y = 50
(XII) 12x + 15y = -42
Når vi har en situation hvor tallene foran y'erne er lige store, kan man med fordel trække de to ligninger fra hinanden ved at gøre følgende overvejelser:
I ligning (XI) trækker vi -42 fra på begge sider
10x + 15y - (-42) = 50 - (-42)
Grunden til at vi trækker -42 fra er, at vi vha. ligning (XII) kender en anden måde, hvorpå vi kan skrive -42. Denne skrivemåde benyttes på ligningens venstre side, så vi får i stedet for
10x + 15y - (12x + 15y) = 50 - (-42)
Parenteserne hæves
10x + 15y - 12x - 15y = 50 + 42
Det smarte er nu, at leddene med y forsvinder, idet tallene foran y'erne er lige store. Vi har derfor
10x - 12x = 92
-2x = 92
x = -46
Vi kommer frem til samme x-værdi som i eksempel 3.7.5.