Matematik grundforløb

3.5 Løsning af ligninger med ”håndkraft”

Vi har tidligere set på et eksempel på kørsel med taxa. Her var turens længde i km den uafhængige variabel, som vi som kunde selv vælger. Denne kalder vi sædvanligvis for x. Prisen derimod bestemmer vi ikke selv, for den afhænger af hvor langt vi har kørt med taxaen. Det er den afhængige variabel, og den kalder vi oftest for y.

Hvis startprisen for kørsel med taxa er 32 kr. og man derefter betaler 12 kr. pr. kilometer, kan prisen for taxaturen beregnes med denne formel

y = 12 · x + 32

eller denne regneforskrift

f(x) = 12 · x + 32

Figur 3.5.1. En taxatur kan beskrives med en formel eller en forskrift.

Hvis man kender turens længde, lad os sige den er 6 km, så kender vi altså værdien af x, og den er

x = 6

Hvis vi så vil finde prisen, kan vi bruge formlen til at bestemme prisen y ved at indsætte x = 6 på x’ets plads

y = 12 · 6 + 32 = 72 + 32 = 104

Vi kan også bruge regneforskriften ved at indsætte x = 6 på x’ets plads i regneforskriften. det skriver vi på følgende måde

f(6) = 12 · 6 + 32 = 72 + 32 = 104

Og vi skal derfor betale 104 kr. for turen.

Hvis vi derimod har kørt med taxa, og prisen for turen blev 140 kr. kunne man spørge, hvor langt vi egentlig har kørt.

Nu kender vi altså y-værdien i regneforskriften, og vi kan derfor indsætte tallet 140 på y’s plads

140 = 12 · x + 32

Nu er det altså x vi skal finde, for x angiver jo turens længde. Én måde at gøre det på er ved grafisk aflæsning, hvor vi starter ved y = 140 og derfra bevæger os vandret hen til grafen og derfra videre i lodret retning til x-aksen, hvor løsningen aflæses.

Figur 3.5.2 viser hvordan bevægelsen foregår i koordinatsystemet. Ved hjælp af grafen aflæses at en taxatur til 140 km har fragtet os 9 km.

Figur 3.5.2. Anvendelse af grafen til bestemmelse af længden for en tur til 140 kr.

Én anden måde hvorpå man kan bestemme x er at løse ligningen ved at flytte rundt på tallene i "hånden". Vi kalder ligningen for en førstegradsligning, fordi der indgår et x, der også kan skrives som x i første, dvs. x = x¹. Man kan også kalde ligningen for en lineær ligning, fordi vi arbejder med formlen for en lineær sammenhæng.

Hvis du skal løse en ligning med ”håndkraft”, så skal du bearbejde ligningen, så den ubekendte, x, isoleres på den ene side af lighedstegnet. De regler, som du skal overholde, er meget enkle:

Regler for løsning af ligninger

Du må:

Foretage udregninger og reduktioner på hver side af lighedstegnet.
Lægge samme tal til eller trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet.
Gange eller dividere samtlige led med samme tal (bortset fra nul) på begge sider af lighedstegnet.
- Man må ikke gange med nul, fordi man så får omskrevet ligningen til 0 = 0, hvilket vi ikke kan arbejde videre med.
- Man må ikke dividere med nul, fordi vi ikke kan tillægge division med nul nogen mening.

Fornuftige metoder når ligninger skal løses:

Findes der parenteser i ligningen, så hæv dem eller reducer dem.
Findes der brøker i ligningen, så kan man forsøge at:
- forlænge alle brøker, så de får samme nævner.
- gange alle led med alle nævnere.
- dividere nævneren op i alle led i tælleren.

Eksempel 3.5.1 Bestemmelse af taxaturens længde

Vi skal løse ligningen

140 = 12 · x + 32

Først trækkes 32 fra på begge sider

140 - 32 = 12 · x + 32 - 32

og vi får

108 = 12 · x

Så divideres med 12 på begge sider af lighedstegnet

108 : 12 = 12 · x : 12

Dermed er

9 = x

Altså har turen til 108 kr. været på 9 km.

Eksempel 3.5.2 - Løsning af ligninger

De to videoer viser ligningsløsningsreglerne i sving:

Video 3.5.1: Simpel ligning.

Video 3.5.2: Ligning med brøk.

Eksempel 3.5.3 - Løsning af ligning med kontrol til sidst

Vi skal løse ligningen

7x - 3 = 2x + 17

Først trækkes 2x fra på begge sider

7x - 3 - 2x = 2x + 17 - 2x

og vi får

5x - 3 = 17

Så lægges 3 til på begge sider af lighedstegnet

5x - 3 + 3 = 17 + 3

og vi får så

5x = 20

Endelig dividerer vi med 5 på begge sider

5x : 5 = 20 : 5

som udregnes til

x = 4

Løsningen på vores ligning er altså x = 4.

Vi kan kontrollere om vores løsning er korrekt ved at indsætte den indsættelse i den oprindelige ligning. Indsættes x = 4 i ligningens venstre side fås:

7 · 4 - 3 = 28 - 3 = 25

Indsættes x = 4 i ligningens højre side fås

2 · 4 + 17 = 8 + 17 = 25

Når x = 4 får ligningens venstre og højre side altså samme værdi og lighedstegnet imellem de to sider giver dermed mening. Vi konkluderer at vores løsning er korrekt.

Eksempel 3.5.4 - En ligningen uden løsninger

Vi skal løse ligningen

2x + 1 = 3(x - 4) - x + 10

Parentesen hæves

2x + 1 = 3x - 3 · 4 - x + 10

Der beregnes og flyttes rundt på højre side

2x + 1 = 3x - x - 12 + 10

Der reduceres på højre side

2x + 1 = 2x - 2

Der trækkes 2x fra på hver side

2x + 1 - 2x = 2x - 2 - 2x

Der reduceres på hver side

1 = -2

Vi er kommet frem til et udtryk, som aldrig kan være sand. Det betyder, at ligegyldig hvilken x-værdi vi forsøger at indsætte i den oprindelige ligning, så vil ligningen aldrig få en venstre side og en højre side, der er lig med hinanden. Vi konkluderer at ligning ikke har nogle løsninger.

Eksempel 3.5.5 - En ligningen med uendelig mange løsninger

Vi skal løse ligningen

(10x + 6)/2 = 5(x + 1) - 2

Der ganges ind i parentesen på højre side

(10x + 6)/2 = 5x + 5 - 2

Der reduceres på højre side

(10x + 6)/2 = 5x + 3

Nævneren divideres op i begge led i tælleren på venstre side

10x/2 + 6/2 = 5x + 3

Der beregnes på venstre side

5x + 3 = 5x + 3

Der trækkes 5x fra på hver side

5x + 3 - 5x = 5x + 3 - 5x

Der reduceres på hver side

3 = 3

Vi er kommet frem til et udtryk, som altid er sand. Det betyder, at ligegyldig hvilken x-værdi vi forsøger at indsætte i den oprindelige ligning, så vil ligningens venstre side og højre side altid være lig med hinanden. Vi konkluderer at ligningen har uendelig mange løsninger.

Page updated

Report abuse