Embedded Files
Hverdagssprog og formelsprog
Hverdagssprog og formelsprog
Ofte bruger man matematik som et redskab til at beskrive problemstillinger fra vores hverdag. I afsnit 1.2 blev det omtalt hvordan man kan matematisere virkeligheden. I dette afsnit gives eksempler, der illustrerer hvordan matematik kan anvendes i forskellige situationer, hvor vi oversætter vores hverdagssprog til et formelsprog.
Eksempel 2.2.1 - Rektangler
Når du skal regne noget ud, har du brug for at vide, hvordan man gør. Hvis vi skal udregne arealet af gulvet på figur 2.2.1, som har længden 7,2 m og bredden 4,3 m, skal vi blot gange de to tal med hinanden. Vi får arealet til at være:
7,2 m · 4,3 m = 30,96 m2
Nu er det nok de færreste, der lige er interesseret i arealet af netop dette gulv. Men man kunne få brug for at finde arealer af andre rektangler.
Figur 2.2.1. Det farvede område forestiller et gulv i et lokale.
Hvis vi skal finde arealet af et rektangel, skal vi blot kende de to sidelængder og så gange dem med hinanden. Da rektangler findes i alle mulige størrelser og former, vil både rektanglets længde og bredde være variable. Lad os bruge symbolet l for rektanglets længde og symbolet b for rektanglets bredde, som vist på figur 2.2.2. Arealet er også en variabel, da det også varierer fra det ene rektangel til det andet. Lad os bruge symbolet A for denne variabel.
At vi skal gange længde med bredde for at finde arealet kan udtrykkes ved formlen:
A = l · b
Herved har vi opnået en ligning, der udtrykker en sammenhæng mellem de tre variable: længde, l, bredde, b og areal, A.
Figur 2.2.2. Et rektangels to sider kaldes l og b.
Fordelen ved at skrive en sådan formel op er, at man hurtigt kan se, hvordan arealet udregnes. Desuden kan man nemt selv udregne arealet ved blot at indsætte de aktuelle værdier for længde og bredde på de tilsvarende variables plads i formlen og så udregne værdien. På denne måde er formlen for rektanglets areal en kort måde at beskrive, hvordan rektanglets areal udregnes. Samtidig er formelsproget internationalt, så formlen vil blive forstået over det meste af verden, hvis altså folk kan matematik.
Eksempel 2.2.2 - Cirkel og cylinder
Arealet af en cirkel kan findes ved at multiplicere π med radius i anden potens. Her er både cirklens radius en variabel, hvor vi bruger symbolet r, og arealet er også en variabel, og her bruger vi symbolet, A. Figur 2.2.3 viser en cirkel med radius r.
Formlen kan så skrives (læg mærke til, at vi ofte udelader gangetegn mellem variable i formler):
A = π r 2
Figur 2.2.3. Cirkel med radius.
Rumfanget af en cylinder kan findes ved at multiplicere arealet af grundfladen med cylinderens højde. Grundfladen af en cylinder er en cirkel. Hvis vi angiver cirklens radius med r og cylinderens højde med h, som vist på figur 2.2.4, kan formlen for rumfanget, V, skrives:
V = A h
V = π r 2 h
Figur 2.2.4. Cylinder med radius og højde.
Eksempel 2.2.3 - Pyramide
Hvis vi skal finde rumfanget af en pyramide, så kan vi gange grundfladens areal med en tredjedel af højden. Her er der også to variable. Den ene er højden af pyramiden. Lad os bruge symbolet, h, for denne. Grundfladens areal er en anden variabel. Lad os bruge symbolet, A, for denne. Så har vi situationen som er vist på figur 2.2.5. vi kan omsætte beskrivelsen af rumfanget i ord til formlen:
V = 1/3 h A
hvor symbolet, V, betegner rumfanget.
Figur 2.2.5. Pyramide med højde.
Matematisk analyse - Tænk på et tal
Matematisk analyse - Tænk på et tal
Ofte vil man i matematik arbejde med metoder til at løse konkrete problemer uden at arbejde med de konkrete tal, der optræder i forskellige problemstillinger. Derfor vil det være hensigtsmæssigt ikke at angive de konkrete tal i en udregning, men at lade bogstaver repræsentere de tal, der skal indgå i regningerne – altså at bruge variable for tallene i stedet for de konkrete tal. På denne måde kan man bedre analysere selve beregningsmetoderne. Man kan nemmere overskue de regnemetoder, som anvendes.
Lad os se på et eksempel, hvor vi beskriver en beregning med hverdagssprog:
Tænk på et tal og læg 4 til tallet.
Gang nu med 2.
Træk 6 fra resultatet.
Gang nu med 5.
Træk endelig 10 fra.
Prøv proceduren på et par konkrete tal, som du selv vælger og få herigennem en ide om, hvad der sker med tallet. Måske kan du allerede overskue, hvad der sker i regneprocessen. Hvis du starter med 7 ender du med 70. Hvis du starter med 3 ender du med 30. Ligegyldigt hvad du starter med, så ender du med et resultat, der er 10 gange større end starttallet.
Lad os nu analysere beregningen, og udtrykke os i formelsproget:
Det tal, du starter med, er en variabel, for du kan jo starte med, hvad du vil. Lad os kalde tallet for a:
Tænk på et tal a og læg 4 til tallet: a + 4
Gang så med 2: 2 · (a + 4) = 2a + 2 · 4 = 2a + 8
Træk 6 fra resultatet: (2a + 8) – 6 = 2a + 8 - 6 = 2a + 2
Gang nu med 5: 5 · (2a + 2) = 5 · 2a + 5 · 2 = 10a + 10
Træk endelig 10 fra: (10a + 10) – 10 = 10a + 10 - 10 = 10a
Heraf ses, at sluttallet præcis er 10 gange større end starttallet.
Snor om kugle
Snor om kugle
Et reb lægges omkring Jorden ved ækvator, så det er helt stramt. Så forlænges rebet med 1 meter og løftes op, så det overalt er lige højt over jorden. Vi vil nu beregne hvor højt rebet nu ligger over Jorden.
Jordens omkreds er 40.000.000 m ved ækvator, og det er således også rebets længde inde vi forlængede det. I en cirkel er de to variable, radius r, og omkreds O, forbundet ved følgende formel:
O = 2π · r
eller
r = O / (2π)
Figur 2.2.6. Et reb rundt om Jordens ækvator.
Vi kan derfor udregne Jordens radius, og det er også radius i den cirkel, som rebet danner:
r = O / (2π) = 40.000.000 m / (2π) = 6.366.197,72 m
Når vi så udvider rebet med 1 meter, vil omkredsen af den cirkel, som rebet nu danner være O1 = 4.000.001 m. Radius i den nye cirkel, som rebet danner bliver:
R = O1 / (2π) = 40.000.001 m / (2π) = 6.366.197,88 m
Forskellen på R og r er netop den højde, som rebet løfter sig. Forskellen beregnes til
R - r = 6.366.197,88 m - 6.366.197,72 m = 0,16 m = 16 cm
Konklusionen er at rebet løfter sig 16 cm over Jorden hele vejen rundt om Jorden.
Lad os analysere situationen lidt nærmere og generalisere problemstillingen. Vi vil nu betragte en vilkårlig cirkel, hvis omkreds forlænges med 1 meter. Den oprindelige cirkels omkreds sættes til O. Den udvidede cirkels omkreds bliver så: O1 = O + 1 m. De tilsvarende radier bliver:
r = O / (2π)
og
R = (O + 1) / (2π)
Forskellen på de to radier skrives igen som R - r. Da vi ikke har talværdier for de to radier, må vi regne med symbolerne. Her har vi en situation hvor en brøk skal trækkes fra en brøk. Når de to brøkers nævner er ens, skal man udregne dette ved at samle de to brøker i en brøk, hvor man i tælleren trækker de to oprindelige tællere fra hinanden og i nævner har den fælles nævner fra de to oprindelige brøker. Udregningen er vist i figur 2.2.7.
Figur 2.2.7. Udtrykkene for de to radier trækkes fra hinanden.
Ved hjælp af en matematisk analyse ser vi altså, at det faktisk er ligegyldigt, hvor stor den oprindelige cirkel er. Cirklen, der er forlænget med 1 meter, har altid en radius, der er 16 cm større end den oprindelige cirkel. Det gælder uanset om det oprindelige reb var lagt om et æble med en radius på 3 cm eller Jorden, der jo har en noget større radius.
Figur 2.2.8. Et reb rundt om et æble.
Page updated
Report abuse