Et af matematikkens kendetegn er måden at drage slutninger (eller konklusioner) på efter logikkens regler. Disse slutningsregler sikrer os, at de formler, som vi bruger, faktisk også giver et rigtigt svar.

Vi vil belyse dette vha. Pythagoras’ sætning, som de fleste nok kender:

Anvendelse af Pythagoras' sætning

En sætning skal bevises

Man ved ikke, hvordan man i Mesopotamien opdagede sætningen. Men man mener, at babylonierne havde erfaret, at hver gang men målte sidelængderne i en retvinklet trekant, så passede formlen. Man havde ikke bevist sætningen. Et bevis betyder, at man er helt sikker på, at sætningen vil gælde i alle retvinklede trekanter. At sætningen viser sig at være rigtig hver gang, man tegner en konkret trekant, betyder jo ikke, at den automatisk vil gælde i alle de mulige trekanter, man kan forestille sig. Der er uendeligt mange forskellige trekanter, og ligegyldigt hvor ihærdig man er, kan man altid kun nå at efterprøve et endeligt antal. Der vil stadig være uendeligt mange tilbage, som man ikke fik efterprøvet. Så man kan aldrig være helt sikker på at sætningen altid vil være rigtigt, hvis man blot efterprøver.

I matematik er man ikke tilfreds med kun at have efterprøvet en formel mange gange. Man ønsker fuldstændig sikkerhed for formlernes gyldighed.

I naturvidenskab er man derimod nødt til at affinde sig med kun at efterprøve sine teorier et endeligt antal gange. Og man kan endda ikke være sikker på, at få efterprøvet teorierne med 100% nøjagtighed, fordi ethvert eksperiment, der indebærer, at man måler, vil være behæftet med en vis måleusikkerhed.

Lad os f.eks. se på tyngdekraften. Hver gang vi slipper en ting, vil den falde mod gulvet. Det er altid sket indtil nu, så derfor tror vi på, at det også vil ske næste gang. Men vi kan ikke være helt sikre. Måske vil koppen, næste gang du taber den, blive hængende i luften. Det ville være uhyre mærkeligt, men ikke helt umuligt. Måske er tyngdekraften blevet brugt op? Eller koppen er havnet i et ”hul” i Jordens tyngdefelt? Men så længe vi ikke har observeret en kop, der blev hængende i luften, vil vi tro på, at tyngdekraften vil få alle genstande til at falde mod jorden, når de slippes. Sådanne erfarede kendsgerninger kaldes induktivt begrundede kendsgerninger.

I matematik er erfaringerne grundfæstede på anden vis. Vi afprøver ikke mange trekanter, og hvis vi gjorde, ville sætningen højst sandsynligt alligevel ikke passe. Hvis du tegner en retvinklet trekant og måler sidelængderne med en lineal, så vil du almindeligvis ikke finde, at Pythagoras' sætning er opfyldt.

Afvigelsen kan skyldes, at vi ikke kan måle trekantens sidelængder helt præcist. Når vi måler a til at være 3,7 cm, er der sikkert op mod 1 mm unøjagtighed på målingen, så den rigtige længde vil ligge et sted mellem 3,6 cm og 3,8 cm.

Vi kan være helt sikre på, at Pythagoras sætning gælder, for den kan bevises. Og det er derfor, Pythagoras har lagt navn til sætningen, for han var den første, der beviste sætningen. Et matematisk bevis er et ræsonnement, der overbeviser alle om, at sætningen ikke kan være forkert. Et bevis for Pythagoras' sætning findes i afsnit 1.3.1.