Embedded Files
Пригадайте, які геометричні фігури ви використовували найчастіше під час вивчення геометрії.
У таких сферах, як робототехніка, системи автоматизованого програмування, комп’ютерна графіка тощо, застосовуються алгоритими, що описуються в термінах геометрії.
Обчислювальна геометрія — це галузь комп’ютерних наук, присвячена вивченню алгоритмів розв’язування геометричних задач.
У процесі розв’язування задач обчислювальної геометрії використовуються базові геометричні об’єкти: точка, відрізок, пряма, вектор, многокутник, коло. Приклади геометричних задач: пошук координат точки перетину двох прямих; перевірка приналежності точки відрізку; перевірка приналежності точки многокутнику; обчислення площі многокутника; побудова опуклої оболонки.
Точка на площині в декартовій системі координат задається двома числами —координатами x і y, а у тривимірному просторі — трьома координатами (x ́, y ́, z ́). Відрізок можна задати, вказавши координати його початку й кінця, пряму — вказавши координати двох її точок.
Оскільки в обчислювальній геометрії вектор є одним з основних «інструментів», згадаємо основні відомості про нього, що вивчалися на уроках геометрії.
Вектор — це напрямлений відрізок AB, де A — точка початку (її ще називають точкою прикладання), B — точка кінця відрізку. Вектор позначають двома великими латинськими буквами зі стрілкою ( АB) або рискою зверху (AB). Вектор також позначають однією буквою (a), або буквою зі стрілкою (a), або буквою з рискою зверху (a).
Вектор характеризується довжиною і напрямком. Кожний вектор має проекцію на відповідну вісь. Проекцією вектора на вісь називають відрізок, кінцями якого є проекції точок початку й кінця вектора на задану вісь. Довжина проекції — довжина цього відрізка. Довжину проекції інколи також називають проекцією. Проекція має знак «плюс», якщо напрямок від проекції початку до проекції кінця вектора збігається з напрямком осі, і знак «мінус», якщо ці напрямки протилежні.
Проекція дорівнює довжині початкового вектора, помноженій на косинус кута між цим вектором і віссю. Нехай точка A в декартовій системі координат має координати (x1, y1), а точка B — координати (x2, y2). Координатами вектора (AB) називають пару чисел (х2 - x1, y2 - y1). Якщо вектор має координати (x, y) і прикладений до точки (x1, y1), то можна обчислити координати його кінця (x2, y2), так: x2= x1+ x, y2= y1+ y.
Довжиною, або модулем, вектора називають відстань між точками його кінця і початку
Для позначення довжини вектора часто використовують символи модуля:
Вектори бувають колінеарні й неколінеарні.
Колінеарні вектори — це вектори, що лежать на одній прямій або паралельних прямих. Колінеарні вектори, у свою чергу, поділяють на дві групи: однаково напрямлені (співнапрямлені) і протилежно напрямлені. Вектори, що однаково напрямлені, позначаються так: a ↑↑ b, а вектори, що протилежно напрямлені, позначаються так: a ↑↓d.
Умови колінеарності векторів
Два вектори a і b колінеарні, якщо існує число n таке, що a = n · b.
Два вектори колінеарні, якщо відношення їх координат рівні.
Два вектори називають рівними, якщо вони співнапрямлені і мають однакову довжину. Два колінеарні вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називають протилежними. Вектор, початок і кінець якого збігаються, називають нульовим і позначають 0.
Одиночним вектором, або ортом, називають вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Орт позначають буквою e, а його модуль: |e|=1.
Практичне завдання
Практичне завдання
Увага! Під час роботи з комп'ютером дотримуйтеся вимог безпеки життєдіяльності та санітарно-гігієнічних норм.
Завдання 1. Точка A має координати (x1,y1), точка B — координати (x2,y2). Створіть програму для обчислення довжини вектора. Визначте довжину вектора АВ, якщо: 1) А(-3; 1), В(5; -5); 2) А( -2; 4), В(1; 6).
Завдання 2. Створіть програму для обчислення проекції вектора с на вісь, якщо |c|=m, кут між вектором і віссю становить p°. Визначте проекцію вектора c на вісь, якщо |c|=10, кут між вектором і віссю становить 60°.
Завдання 3. Створіть програму для обчислення координати точки кінця вектора. Обчисліть координати точки кінця вектора a, що має координати (3; 7) і прикладений до точки (1; 4).
Завдання 4. Створіть програму для обчислення проекції вектора с на вісь, початок вектора точка A (x1; y1), кінець вектора B (x2; y2), а кут між вектором і віссю становить p°.
Завдання 5. Дано вектор a з координатами початку (x1;y1) і кінця (x2;y2) і вектор b з координатами початку (x3;y3) і кінця (x4;y4). Визначте, чи є ці вектори колінеарними, якщо вектор а має координати початку (3; 4) і кінця (8; 6) і вектор b має координати початку (1; 7) і кінця (5; 9).
Page updated
Google Sites
Report abuse