Теоретичні відомості

Система числення — сукупність правил запису (зображення) чисел за допомогою символів (цифрових знаків) і виконання операцій над ними.

Розрізняють непозиційні й позиційні системи числення. 

У непозиційних системах числення кількісне значення цифри не залежить від її місця розташування в зображенні числа. Такі системи складні для запису чисел і виконання над ними арифметичних операцій, тому вони сьогодні майже не застосовуються (приклад 1 - римська система  один - І, два -  ІІ,  дев'ять - ІХ, п'ятдесят - L, сто - С).

У позиційних системах числення кількісне значення цифри залежить не лише від значення самої цифри, а й від її місця (позиції) у записі числа.  (Приклад 2:  у числі 64 кількісне значення цифри 6 дорівнює 60, а у числі 40,6 — тільки 0,6).

Кожну позицію цифри в числі називають розрядом. Зазвичай для цілих чисел використовується така нумерація розрядів: молодший розряд цілого числа має номер нуль, а кожний наступний номер збільшується на одиницю. Для дійсних чисел старший розряд у дробовій частині має номер –1, а кожний наступний номер дробового розряду зменшується на одиницю. Таким чином, якщо ціла частина числа має n розрядів, а дробова  m розрядів, то старший розряд цілої частини має номер n – 1, а молодший розряд дробової частини — номер –m.

Основними характеристиками позиційних систем числення є основа системи числення, вага розрядів, значення цифр, які використовуються в системі числення. Основою системи числення (q) зазвичай називають кількість цифр, які можуть використовуватися в записі числа. Найчастіше для цього використовуються числа натурального ряду, включаючи нуль (приклад 3 - у десятковій системі застосовують числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, у вісімковій — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

 Дані в комп’ютерних системах подаються символами 0 і 1. Це обумовлено тим, що у двійковій системі числення порівняно з іншими найпростіше виконуються арифметичні операції, і вона надійніше реалізується технічно. Двійкова система (як і десяткова) є позиційною. Нагадаємо, що в таких системах кількісне значення цифри (кількісний еквівалент) залежить як від значення самої цифри, так і від її місця (позиції, розряду) у записі числа з урахуванням номера розряду й основи системи числення визначається кількісний еквівалент кожної цифри в числі (приклади 5, 6).

Крім перелічених систем числення, використовуються також інші системи, наприклад двійково десяткова. Двійково-десятковий код (англ. binary-coded decimal), BCD,8421-BCD — форма запису раціональних чисел, коли кожний десятковий розряд числа записується у вигляді його чотирибітового двійкового коду. Наприклад, десяткове число 31110 буде записано у двійковій системі. У двійково-десятковій системі кожна десяткова цифра подається чотирма двійковими розрядами (приклад 7).

Щоб визначити кількісне значення цифри в позиційній системі числення, необхідно помножити цю цифру на основу системи в степені того номера розряду, в якому  розміщена ця цифра.

У шістнадцятковій системі значення її перших десяти символів збігаються з цифрами десяткової системи, а інші символи мають значення A, B, C, D, E, F. У табл. 5.1 наведено ці символи та відповідні їм двійкові та десяткові значення.