Nato nel 1954, ha esordito nella Compagnia Teatrale Vittorio Alfieri interpretando Orazio nell'Amleto, cui seguiranno il Lennox di Macbeth, Ognuno in Processo al medioevo, Clarino ne La vita è sogno (interpretazione di notevole successo), Lukas nell'Orso e Muraskin nel Tragico contro voglia di Cechov, Tommaso Diafoirus ne Il malato immaginario, Slender ne Le allegre comari di Windsor, di cui partecipò alla regia. Dopo l'interpretazione di Giuda in Processo a Gesù, in cui dimostrò di sapersela cavare egregiamente anche in ruoli drammatici, lasciò la Compagnia per passare alla Compagnia del Marchesato di Saluzzo per la quale allestì numerosi spettacoli di successo. Bocci partecipò anche a vari spettacoli di tipo cabarettistico che ne esaltavano la naturale propensione alla comicità e alla satira anche pungente.