来看应用题!首先是有奖征答的题目!
已知一个5000L的水槽内完全溶解了20kg的食盐。入水管每分钟输入25L的食盐水,其中每公升含有0.03kg的食盐。假设水槽内的食盐水浓度时时刻刻都是均匀混合的状态。若出水管也以同样的速率排出水槽内的食盐水,问:
(a) 同时打开出水管与入水管的半小时后水槽内有多少公斤的食盐?
(b) 若入水管与出水管一直开着,最后水槽内的盐会趋近于多少公斤?
第一步:题目分析、写出微分方程式
第二步:解微分方程式
(注意:我们这里做的是变量分离法,除到分母的 150 -y 要小心不能是零。 )
(如果 150- y =0 可以是答案吗?)
(也就是 常数函数 y = 150 是否满足 y' =0.75 -y/200, y(0)=20 这个微分方程式呢? )
第三步:当时间趋近无穷,水槽内食盐质量的极限(注意:极限是不会达到的,只会很靠近)
再来看一题"浓度"问题:
第一步:题目分析、写出微分方程式
第二步:解微分方程式
(注意:我们这里做的是变量分离法,除到分母的 1000 -y 要小心不能是零。 )
(如果 1000- y =0 可以是答案吗?)
第三步:回答题目延伸问题
这一题解完以后不妨来想想看:1000(千万)是市面上所有纸钞的总额,如果没有人力干预的话,y=1000 有可能达成吗?
对了,这两题请大家一定要复盘,也就是重头想方程式是怎么写出来的。因为应用题一开始的概念厘清,到写下方程式才是这一节的核心。解方程式的部分我相信大家都没有问题,都能做到。
好!复盘以后,请大家动手做做浓度问题的第三、第四题。