Este é um pequeno resumo das exposições.
High Resolution Methods
In this talk we shall study some high resolution methods. This term applies to methods that are at least second order accurate on smooth solutions and yet give well resolved, nonoscillatory discontinuities. The main idea behind any high resolution method is to attempt to use a high order method, but to modify the method in order to decrease the amount of numerical dissipation in the neighborhood of a discontinuity.
Métodos de Alta Resolução
Nesta exposição nós estudaremos alguns métodos de alta resolução. Este termo é aplicado aos métodos que têm precisão de pelo menos segunda ordem em soluções suaves e conseguem resolver descontinuidades não-oscilatórias. A idéia por trás de qualquer método de alta resolução é usar um método de ordem superior, modificando-o para diminuir a quantidade de dissipação numérica numa vizinhança de uma descontinuidade.
Approximate Riemann Solves
Godunov's method requires the solution of Riemann problems at every cell boundary in each time step but the exact solution is averaged over each grid cell, introducing large numerical errors. This suggests that it is not worthwhile calculating the Riemann solutions exactly and that we may be able to obtain good numerical results with an approximate Riemann solution obtained by some less expensive means.
Riemann Solvers Aproximados
O método de Godunov requer que problemas de Riemann sejam resolvidos em cada fronteira de célula, em cada passo de tempo, mas usa-se a média da solução exata em cada célula, introduzindo-se assim grandes erros numéricos. Isto sugere que talvez não valha a pena calcular as soluções exatas dos problemas de Riemann, e que possamos obter um bom resultado numérico usando uma aproximação da solução do problema de Riemann, calculada de forma mais econômica.
Godunov's Method
One-sided methods cannot be used for systems of equations with eigenvalues of mixed sign. For a linear system of equations we previously obtained a natural generalization of the upwind method by diagonalizing the system. For nonlinear systems, the matrix of eigenvalues is not constant and the same approach does not work directly. In this talk we shall study a generalization in which the local characteristic structure, now obtained by solving a Riemann problem rather than by diagonalizing the Jacobian matrix, is used to define a natural upwind method. This method is called Godunov's method.
Método de Godunov
Métodos unidirecionais não podem ser usados para sistemas de equações com autovalores de sinais diferentes. Para um sistema de equações lineares, obtemos uma generalização natural do método upwind diagonalizando o sistema. Para sistemas não-lineares a matriz dos autovalores não é constante e essa metodologia não pode ser seguida diretamente. Nesta exposição nós estudaremos uma generalização na qual a estrutura característica local, obtida resolvendo-se um problema de Riemann ao invés de diagonalizar a matriz jacobiana, é usada para definir um método upwind natural, chamado método de Godunov.
Numerical Methods for Linear Equations
First of all, we shall quickly define what is a rarefaction wave and, then, start the numerical study of conservation law by reviewing some of the basic theory of numerical methods for the linear advection equation and hyperbolic systems. We shall talk about the difficulties caused by discontinuities in the solution.
Métodos Numéricos para Equações Lineares
Definiremos as ondas de rarefação e depois iniciaremos o estudo dos métodos numéricos para leis de conservação revendo a teoria básica para a equação de adveção linear e para os sistemas hiperbólicos. Falaremos das dificuldades causadas por descontinuidades nas soluções.
Shocks and the Hugoniot Locus
In the previous talk we constructed the solution to the general Riemann problem for a linear hyperbolic system of conservation laws. Our goal in the next two talks is to perform a similar construction for the nonlinear Riemann problem. In the linear case the solution consists of m waves, which are simply discontinuities traveling at the characteristic velocities of the linear system. In the nonlinear case the physically relevant vanishing viscosity solution may contain rarefaction waves as well as discontinuities. In this talk we shall first see if it is possible to construct a weak solution of the Riemann problem consisting only of m discontinuities propagating with constant speeds (we will see that the answer is yes for ||ul - ur|| sufficiently small). We shall discuss rarefaction waves in the next talk.
Choques e o Locus de Hugoniot
Na exposição passada, nós construímos a solução para o problema de Riemann geral relativo a um sistema linear hiperbólico de leis de conservação. Nossa meta nas duas próximas palestras é construir uma solução similar para o problema de Riemann não-linear. No caso linear a solução consiste de m ondas, que são simples descontinuidades viajando com as velocidades características do sistema. No caso não-linear a solução fisicamente relevante advinda da solução limite de viscosidade nula pode conter também ondas de descontinuidades. Veremos inicialmente se é possível construir uma solução fraca do problema de Riemann consistenindo somente de m descontinuidades propagando-se com velocidades constantes (veremos que a resposta é sim para ||ul - ur|| suficientemente pequeno). Discutiremos as ondas de rarefação na próxima exposição.
Euler Equations
Initially, we shall discuss the Euler equations for Gas Dynamics, which are a particularly important example of nonlinear systems of conservation laws. We shall also look at some simplifications -- the isentropic and the isothermal cases -- where systems of two equations are obtained. Then, we shall begin the study of systems of conservation laws by reviewing the theory of linear hyperbolic systems with constant coefficients. We shall also obtain explicit solutions of the Riemann problem and introduce a "phase plane" interpretation, that will be very useful in our study of nonlinear systems.
Equações de Euler
Inicialmente discutiremos as equações de Euler da Dinâmica dos Gases, que são um exemplo particularmente importante de sistemas de leis de conservação não-lineares. Também mostraremos algumas simplificações -- os casos isentrópico e isotérmico -- obtendo sistemas de duas equações. Entâo iniciaremos o estudo dos sistemas de leis de conservação revisando a teoria dos sistemas lineares hiperbólicos com coeficientes constantes. Também obteremos soluções explícitas do problema de Riemann e introduziremos o "plano de fase", que será bastante útil no estudo de sistemas não-lineares.
Scalar Conservation Laws
We begin our study of conservation laws by considering the scalar case. We shall study the linear advection equation and Burgers' equation as examples of linear and nonlinear cases, respectively. Shock formation, weak solutions, the Riemann problem, and entropy conditions will be presented as well as some examples.
Leis de Conservação Escalares
Começaremos nosso estudo sobre leis de conservação considerando o caso escalar. Estudaremos a equação de transporte linear e a equação de Burgers como exemplos dos casos lineares e não-lineares, repectivamente. Trataremos da formação de choques, das soluções fracas, do problema de Riemann e das condições de entropia. Também apresentaremos alguns exemplos.
An Introduction to the Mathematical Theory of Conservation Laws.
It is important to know the mathematical context of Conservation Laws before studying the numerical methods to solve them. In the first talk, we shall introduce the notion of Conservation Laws and the mathematical and numerical difficulties that appear in dealing with them.
Uma Introdução à Teoria Matemática das Leis de Conservação.
É importante conhecer o contexto matemático das Leis de Conservação antes de estudar os métodos numéricos para resolvê-las. Nesta primeira exposição, nós introduziremos a noção de Leis de Conservação e as dificuldades matemáticas e numéricas que aparecem no tratamento dessas leis.