Rodadura de un disco que rueda sin deslizar
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Cuando un cuerpo sólido como por ejemplo una esfera, un aro, un cilindro, etc. se lanza horizontalmente a lo largo de una superficie horizontal su centro de masa se traslada y el cuerpo puede o no girar alrededor de su centro de masa dependiendo de la fuerza de rozamiento existente entre la superficie y el cuerpo.
Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.
Sobre el disco actúan tres fuerzas
Su peso (w=mg), en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
La reacción normal del plano FN.
La fuerza de rozamiento dinámico Fr, proporcional a la fuerza normal.
Como el movimiento del centro de masa (cm) es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, quedando como única fuerza relevante la fuerza de rozamiento dinámico.
Esta fuerza de rozamiento causa dos efectos:
Cómo actúa en el sentido opuesto al movimiento acelera el centro de masa (cm) del disco hacia atrás, generando un movimiento de traslación de la esfera.
Su momento respecto al cm produce un par que hace girar el disco hacia adelante, acelerando al cm y generando un movimiento de rotación.
Debido a la composición de estos dos efectos obtenemos el movimiento del disco.
El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no se desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámico, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento.
Empecemos por calcular la velocidad angular del sistema. De la ecuación del movimiento de rotación
Debemos hallar el momento de las tres fuerzas y no solo de la de rozamiento, porque aunque la suma del peso y la fuerza normal sea nula, pueden formar un par de fuerzas no nulo.
Nos queda entonces la ecuación para la aceleración angular
cuya integración nos da la velocidad angular, que también varía linealmente con el tiempo
Inicialmente la velocidad angular es nula (el disco solo desliza), por lo que
Este resultado implica que aunque inicialmente el disco solo desliza inmediatamente comienza a rotar en sentido horario, como consecuencia del par ejercido por la fuerza de rozamiento. Para analizar un caso real
De la gráfica obtenida se puede ver como la velocidad de traslación del c.m. disminuye, mientras aumenta la velocidad de rotación.
Para calcular la velocidad del centro de masa partimos de las ecuaciones de dinámica de Newton se obtiene la aceleración del centro de masas
Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico
Como se puede observar la aceleración es constante, lo que implica que la velocidad varía linealmente con el tiempo
Una vez que tenemos la velocidad de un punto y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro punto. La del punto p de contacto con el suelo vale
Esta velocidad disminuye linealmente con el tiempo, pero de manera más rápida que la del centro del disco. Se anula cuando
Este es el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizamiento (pero no en pararse). No depende ni de la masa ni del radio de la esfera.
El desplazamiento s del c.m. y el desplazamiento angular, ángulo girado por el disco en el tiempo tc son respectivamente
Cálculo de la velocidad en el punto más alto del disco
Según hemos visto, el centro de masas se va frenando progresivamente
La velocidad del punto de contacto también va disminuyendo, pero a un ritmo más rápido
Si ahora calculamos la velocidad del punto q, situado en el punto superior del disco obtenemos la velocidad
Es decir, que aunque la esfera avanza cada vez más lentamente, el punto q tiene una velocidad cada vez mayor, como consecuencia de la rotación del disco.
Como podemos apreciar las velocidades finales en el momento en que el tiempo es igual a
Desaparece la fuerza de rozamiento y el disco empieza a gira sin deslizar comenzando una segunda etapa en su movimiento, a partir de tc sigue un movimiento rectilíneo donde vcm ,ω son constantes.
El girar sin deslizar es lo que se conoce como rodadura. En este caso existe una condición de ligadura que relaciona la velocidad con la que se traslada el cm y la velocidad angular de rotación del sólido. En una rodadura el punto de apoyo del sólido (por ejemplo, una esfera, un disco o un cilindro apoyados en un suelo horizontal) no sufren desplazamientos con respecto al suelo, o lo que es lo mismo, están instantáneamente en reposo.
Para que la esfera ruede sin deslizar, el desplazamiento del cm debe coincidir con el arco S correspondiente al ángulo girado, según se aprecia.
La velocidad con la que se traslada el cm será la derivada con respecto al tiempo de dicho desplazamiento:
Puesto que la variación del ángulo girado es la velocidad angular de rotación ω, se tiene finalmente que:
Esta expresión es la condición de rodadura y nos da la relación que debe haber entre la velocidad de traslación del cm y la velocidad angular de rotación para que el sólido ruede sin deslizar.
Si derivamos, se obtiene la relación entre las aceleraciones:
Por tanto la velocidad de una partícula del objeto rodante puede considerarse como el resultado de una traslación pura más una rotación pura del objeto.
En consecuencia la expresión de la energía cinética de un objeto rodante se puede expresar como la suma de dos términos, uno correspondiente a la rotación con respecto a un eje que pasa por el centro de masas y otro correspondiente a la traslación del centro de masas.
Ejercicio de clase
Considere un cilindro sólido de radio R1 que rueda sin deslizar dentro de la superficie semicilíndrica fija con centro O y radio R2 > R1. Encuentre la ecuación de movimiento y el período para pequeñas oscilaciones en torno a la posición de equilibrio, usando las ecuaciones de Lagrange.
por lo tanto el sistema sólo tiene un grado de libertad. La energía cinética viene dada por:
donde vcm es la velocidad del centro de masa del cilindro e I su momento de inercia dados por,
Reemplazando en la expresión de la energía cinética se tiene
y si ahora se escoge como coordenada angular teta entonces, teniendo presente la ligadura(1)
se puede escribir la energía cinética como
Por otro lado, la energía potencial Ep vendrá dada por,
El Lagrangiano se puede escribir como:
Ahora, a partir de las ecuaciones de Lagrange (en este caso hay sólo una, para ), se obtiene,
que es la misma ecuación que para un péndulo simple de longitud
Tarea
Realizar la simulación del ejercicio
Hacer un montaje experimental
Hacer un video
Hacer un análisis de datos de algún parámetro medible.
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