4.7. Дифракционная решетка

Дифракционные решетки представляют собой периодические структуры, выгравированные специальной делительной машиной на поверхности стеклянной или металлической пластинки (рис. 3.10.2). У хороших решеток параллельные друг другу штрихи имеют длину порядка 10 см, а на каждый миллиметр приходится до 2000 штрихов. При этом общая длина решетки достигает 10–15 см. Изготовление таких решеток требует применения самых высоких технологий. На практике применяются также и более грубые решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, нанесенными на поверхность прозрачной пленки. В качестве дифракционной решетки может быть использован кусочек компакт-диска или даже осколок граммофонной пластинки.

Простейшая дифракционная решетка состоит из прозрачных участков (щелей), разделенных непрозрачными промежутками. На решетку с помощью коллиматора направляется параллельный пучок исследуемого света. Наблюдение ведется в фокальной плоскости линзы, установленной за решеткой (рис. 3.10.3).

В каждой точке P на экране в фокальной плоскости линзы соберутся лучи, которые до линзы были параллельны между собой и распространялись под определенным углом θ к направлению падающей волны. Колебание в точке P является результатом интерференции вторичных волн, приходящих в эту точку от разных щелей. Для того, чтобы в точкеP наблюдался интерференционный максимум, разность хода Δ между волнами, испущенными соседними щелями, должна быть равна целому числу длин волн:

Здесь d – период решетки, m – целое число, которое называется порядком дифракционного максимума. В тех точках экрана, для которых это условие выполнено, располагаются так называемые главные максимумы дифракционной картины.

Следует обратить внимание на то, что в каждой точке фокальной плоскости линзы происходит интерференция N волн, приходящих в эту точку от N щелей решетки. Это так называемая многоволновая (или «многолучевая») интерференция. Распределение световой энергии в плоскости наблюдения резко отличается от того, которое получается в обычных «двухлучевых» интерференционных схемах. В главные максимумы все волны приходят в фазе, потому амплитуда колебаний возрастает в N раз, а интенсивность вN² раз по сравнению с колебанием, которое возбуждает волна только от одной щели.

При смещении из главных максимумов интенсивность колебаний быстро спадает. Чтобы N волн погасили друг друга, разность фаз должна измениться на 2π / N, а не на π, как при интерференции двух волн. На рис. 3.10.4 изображена векторная диаграмма колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей при условии, что сдвиг фаз волн от соседних щелей равен 2π / N, а соответствующая разность хода равна λ / N. Вектора, изображающие N колебаний, образуют в этом случае замкнутый многоугольник. Таким образом, при переходе из главного максимума в соседний минимум разность хода Δ = d sin θ должна измениться на λ / N. Из этого условия можно оценить угловую полуширину δθ главных максимумов:

Здесь для простоты полагается, что дифракционные углы достаточно малы. Следовательно,

где Nd – полный размер решетки. Это соотношение находится в полном согласии с теорией дифракции в параллельных лучах, согласно которой дифракционная расходимость параллельного пучка лучей равна отношению длины волны λ к поперечному размеру препятствия.

Можно сделать важный вывод: при дифракции света на решетке главные максимумы чрезвычайно узки. Рис. 3.10.5 дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки.

Как следует из формулы дифракционной решетки, положение главных максимумов (кроме нулевого) зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается ближе к максимуму нулевого порядка. На рис. 3.10.6 изображены спектры различных порядков для белого света. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период d решетки известен, то определение длины сводится к измерению угла θ_m, соответствующего направлению на выбранную линию в спектре m-го порядка. На практике обычно используются спектры 1-го или 2-го порядков.

Если в спектре исследуемого излучения имеются две спектральные линии с длинами волн λ₁ и λ₂, то решетка в каждом спектральном порядке (кроме m = 0) может отделить одну волну от другой.

Одной из важнейших характеристик дифракционной решетки является ее разрешающая способность, характеризующая возможность разделения с помощью данной решетки двух близких спектральных линий с длинами волн λ и λ + Δλ. Спектральной разрешающей способностью R называется отношение длины волны λ к минимальному возможному значению Δλ, то есть

Разрешающая способность спектральных приборов, и, в частности, дифракционной решетки, также как и предельное разрешение оптических инструментов, создающих изображение объектов (телескоп, микроскоп) определяется волновой природой света. Принято считать, что две близкие линии в спектре m-го порядка различимы, если главный максимум для длины волны λ + Δλ отстоит от главного максимума для длины волны λ не менее, чем на полуширину главного максимума, т. е. на δθ = λ / Nd. По существу, это критерий Релея, примененный к спектральному прибору. Из формулы решетки следует:

где Δθ – угловое расстояние между двумя главными максимумами в спектре m-го порядка для двух близких спектральных линий с разницей длин волн Δλ. Для простоты здесь предполагается, что углы дифракции малы (cos θ ≈ 1). Приравнивая Δθ и δθ, получаем оценку разрешающей силы решетки:

Таким образом, предельное разрешение дифракционной решетки зависит только от порядка спектра m и от числа периодов решетки N.

Пусть решетка имеет период d = 10^–3 мм, ее длина L = 10 см. Тогда, N = 10⁵ (это хорошая решетка). В спектре 2-го порядка разрешающая способность решетки оказывается равной R = 2·10⁵. Это означает, что минимально разрешимый интервал длин волн в зеленой области спектра (λ = 550 нм) равен Δλ = λ / R ≈ 2,8·10^–3 нм. В этих же условиях предельное разрешение решетки с d = 10^–2 м и L = 2 см оказалось бы равным Δλ = 1,4·10^–1 нм.