3.4.3. Закон электромагнитной индукции

( = t). Какой будет сила тока после того, как частицы сделают один оборот? Скорость частиц остается много меньше с (скорости света в вакууме).

Решение:

По определению сила тока равна полному заряду, протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника. Следовательно, можно записать:

(2)

где q - заряд протона, n - концентрация протонов, v - скорость, S - площадь поперечного сечения пучка.

Будем считать, что протоны равномерно распределены в пучке, тогда

Подставим в (2) значение n, тогда

(3)

Для определения скорости протонов после первого оборота воспользуемся законом сохранения механической энергии: изменение кинетической энергии одного протона за один оборот равно работе сил поля по перемещению протона

где

- электродвижущая сила индукции, обусловленная изменением магнитного потока.

Таким образом,

(4)

где v₀ - скорость протона в начальный момент времени, m - масса протона.

Скорость протона в начальный момент времени, как видно из (3), равна

Из (4) для скорости к моменту окончания первого оборота получим следующее выражение:

Подставим полученное значение скорости в (2):

Ответ:

2. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Масса кольца m. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если модуль вектора индукции магнитного поля изменяется с высотой Н по закону

, где B₀ и - постоянные величины.

Решение:

При падении кольца меняется магнитный поток через плоскость кольца. Это приведет к появлению электродвижущей силы индукции, величина которой, согласно закону Фарадея, будет равна

Силовые линии магнитного поля перпендикулярны плоскости кольца, поэтому поток вектора магнитной индукции через плоскость кольца равен

Тогда электродвижущая сила индукции

где

- изменение высоты за время .

Так как (здесь v - установившаяся скорость движения кольца), то

Электродвижущая сила постоянна, значит, в кольце появится постоянный индукционный ток силой

(5)

Поскольку скорость кольца установилась, то его кинетическая энергия не меняется. Изменение же потенциальной энергии будет равно тепловым потерям в кольце. Следовательно, можно записать:

Учитывая, что , и подставляя в последнее выражение значение сила тока (5), получим

Ответ:

Задача 3. Заряд Q равномерно распределен по тонкому диэлектрическому кольцу, которое лежит на гладкой горизонтальной поверхности. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен плоскости кольца и меняется от 0 до B₀. Какую угловую скорость вращения приобретает при этом кольцо? Масса кольца равна m.

Решение:

При изменении магнитного поля возникает вихревое электрическое поле. Вектор напряженности электрического поля будет направлен по касательной в каждой точке кольца. Со стороны этого поля на заряды кольца будут действовать электрические силы, направленные также по касательной в каждой точке кольца. Эти силы и заставят кольцо вращаться.

За малый промежуток времени

каждая точка кольца повернется на угол

. На единицу длины кольца приходится заряд . Следовательно,

Работа сил электрического поля по перемещению этого заряда будет равна

(6)

Работа сил поля равна изменению кинетической энергии кольца

За малый промежуток времени

изменение скорости будет тоже малым.

Поэтому (

)² << , и членами, содержащими ()², можно пренебречь. Тогда

Так как v =

R, то

(7)

Приравнивая работу сил поля (6) к изменению кинетической энергии (7), получим:

Таким образом, изменение угловой скорости

пропорционально изменению величины вектора магнитной индукции. Так как кольцо лежит на гладкой плоскости, то при значении индукции магнитного поля B₀ угловая скорость будет равна

= 12 В, реостат и катушка индуктивности L = 1,0 Гн. При сопротивлении реостата R₀ = 10 Ом в цепи протекает некоторый постоянный ток. Затем сопротивление реостата уменьшают таким образом, чтобы ток в цепи равномерно уменьшался со скоростью

. Определите полное сопротивление R() цепи через время = 2,0 с после начала изменения тока. Внутреннее сопротивление батареи и проводов катушки пренебрежимо мало.

Решение:

Поскольку ток в цепи уменьшается равномерно, сила тока со временем будет меняться по закону

где I₀ - сила тока в начальный момент времени. Согласно закону Ома для полной цепи

Как только ток в цепи начинает уменьшаться, начинает уменьшаться и магнитный поток, сцепленный с катушкой индуктивности. Следовательно, в цепи появится электродвижущая сила самоиндукции, которая действует, согласно правилу Ленца, в направлении, в котором действует источник тока в цепи. Тогда полная электродвижущая сила, действующая в цепи, будет равна

. Для каждого момента времени можно записать закон Ома

Отсюда в момент времени

сопротивление реостата будет равно

Подставляя численные значения, получим R(

) = 15 Ом.

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы. Первый уровень сложности.

1. Магнитный поток Ф=40 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС индукции <ξ_i>, возникающей в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за время Δt=2 мс.

2. Прямой провод длиной l=40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью v=5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов U между концами провода равна 0,6 В. Вычислить индукцию В магнитного поля.

3. В однородном магнитном поле с индукцией B=1 Тл находится прямой провод длиной l=20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью v=2,5 м/с.

4. К источнику тока с ЭДС ξ=0,5 В и ничтожно малым внутренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Расстояние l между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнитная индукция B=1,5 Тл. По стержням под действием сил поля скользит со скоростью v=1 м/с прямолинейный провод сопротивлением R=0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Определить:

1) ЭДС индукции ξ_i;

2) силу F, действующую на провод со стороны поля;

3) силу тока I в цепи;

4) мощность P₁ расходуемую на движение провода;

5) мощность P₂, расходуемую на нагревание провода;

6) мощность P₃, отдаваемую в цепь источника тока.

5. В однородном магнитном поле с индукцией B=1 Тл находится прямой провод длиной l=20 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростью v=2,5 м/с.

6. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,35 Тл равномерно с частотой n=480 мин^-1вращается рамка, содержащая N=500 витков площадью S=50 см². Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции ξ_max, возникающую в рамке.

7. Короткая катушка, содержащая N=1000 витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией B=0,04 Тл с угловой скоростью ω=5 рад/с относительно оси, совпадающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индукции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции ξ_i для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α=60° с линиями индукции поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Задачи второго уровня сложности

1.Проволочный виток диаметром d = 5 см и сопротивлением R = 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл. Плоскость витка составляет угол

= 40^o с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля?

Ответ:

2. Кольцо радиуса r = 50 мм из тонкой проволоки поместили в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 мТл так, что плоскость его перпендикулярна вектору индукции. Индуктивность кольца L = 0,26 мкГн. Кольцо охладили до сверхпроводящего состояния и выключили магнитное поле. Найдите ток в кольце.

Ответ:

к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массы m (рис. 8). Шины замкнуты на сопротивление R. Расстояние между шинами равно l. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном к плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивления шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найдите установившуюся скорость перемычки.

Ответ:

(рис. 9). Перпендикулярно плоскости, в которой находятся шины, приложено однородное магнитное поле с индукцией

. Найдите постоянную скорость, с которой будет подниматься стержень. Сопротивлением шин и источника тока, а также трением пренебречь.

Ответ:

= 0,15. Стержни замкнуты на резистор сопротивлением R = 5 Ом. Система находится в магнитном поле, магнитная индукция которого направлена вертикально вверх, а ее модуль изменяется со временем по закону B =

t , где = 5 Тл/с. Определите момент времени, в который перемычка начнет двигаться по стержням. Сопротивлением перемычки и проводящих стержней пренебречь. Геометрические размеры: l = 1 м, h = 0,3 м.

Ответ:

6. Металлическое кольцо, диаметр которого d и сопротивление R, расположено в однородном магнитном поле так, что плоскость кольца перпендикулярна вектору магнитной индукции

. Кольцо вытягивают в сложенный вдвое отрезок прямой, при этом площадь, ограниченная контуром проводника, уменьшается равномерно. Определить заряд q, который пройдет по проводнику.

= 3,0 В. Параллельно катушке включен резистор с сопротивлением R = 2,0 Ом (рис. 11). Ключ К первоначально замкнут. После того как в катушке устанавливается постоянный ток, источник тока отключают, размыкая ключ. Определите количество теплоты Q, выделившееся в системе после размыкания ключа. Сопротивление источника тока и соединительных проводов пренебрежительно мало.

Ответ: