CVGA 2018 18 Teorema Espectral, Quádricas; um Problema Interessante

Equações do segundo grau, de novo 0:01:00

Equação do 2o grau define cônica, mesmo com eixos não ortogonais 0:01:50

E como seria com n variáveis? 0:03:15

Nova abordagem para equações do segundo grau, no plano 0:04:20

Pensar sem coordenadas permite ser livre para escolher um bom sistema de coordenadas 0:07:00

O bom sistema de coordenadas diagonaliza a matriz da transformação linear 0:08:20

Desenho: base ortonormal de autovetores 0:09:40

Comentário: nem toda transformação linear admite uma tal base 0:10:20

O Teorema Espectral 0:11:00

O Teorema Espectral vale em dimensões mais altas 0:12:20

Enunciado do Teorema Espectral, caso real, em Rn 0:13:50

Comentário, visto de R2 0:14:14

A ideia do polinômio característico 0:16:00

Contas 0:17:20 As contas são auspiciosas 0:19:30

Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes 0:21:00

Os autovetores são ortogonais? 0:24:40

Se a matriz é simétrica, autovetores associados a autovetores distintos são ortogonais 0:25:30

A matriz transposta e a adjunta da transformação linear 0:26:55

Definição da adjunta sem matriz 0:32:40

Transformação linear simétrica 0:33:15

Prova da ortogonalidade doa autovetores de autovalores distintos, se T é simétrica 0:34:15

Equação do segundo grau em x, y e z 0:38:00

De novo matriz simétrica, agora 3X3 0:39:50

T de R3 em R3, com Tx.y=x.Ty 0:40:50

R3 tem base ortonormal de autovetores de T? 0:41:45

De novo det(T-lambda I) 0:42:30

Polinômio de grau ímpar tem raiz real; logo, temos um autovetor, epsilon1 0:42:40

O espaço E ortogonal a epsilon1 é de dimensão 2 0:44:15

Se T(E) contido em E, caímos no caso de dimensão 2 0:44:45

Demonstração de que T(E) está contido em E 0:46:25

Podemos tomar base ortonormal que elimina os termos em xy, em xz e em yz 0:49:00

Completando quadrados 50:00

Elipsoide e variantes 0:50:55

Hiperboloide de uma folha, de duas folhas e variantes 0:55:00

Paraboloide 1:01:15

Paraboloide elíptico 1:04:00

Paraboloide hiperbólico (sela) 1:05:30

Resumo até agora 1:07:30

Calha parabólica 1:08:40

O lugar geométrico dos centros dos círculos tangentes a dois círculos fixos 1:15:15

Um ramo de hipérbole 1:17:00

O outro ramo 1:17:35

Outra hipérbole 1:18:50

Os ramos de uma hipérbole se encontram no infinito (dois pontos no plano projetivo) 1:21:40

O que é o infinito, no caso do plano? 1: cada reta tem dois pontos no infinito 1:23:40

2: Projeção Estereográfica - no infinito só tem um ponto 1:25:25

3. Plano Projetivo - cada reta tem um ponto no infinito (comum às paralelas 1:25:30

Voltando aos círculos, que agora se movem 1:29:00

Aparece uma reta, o que é estranho 1:30:15

Surge uma elipse, que explica a estranha reta 1:31:00

Nova reta 1:31:50 Nova elipse 1:32:00

Trocando um dos círculos por uma reta, surgem as parábolas 1:33:40